三重积分（Triple Integral） 是多重积分理论的重要内容，用于计算空间区域上的体积、质量、质心等物理量。三重积分是定积分在三维空间的自然推广。

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基本定义

设函数 $f(x,y,z)$ 在空间有界闭区域 $\Omega$ 上有界，将 $\Omega$ 任意分割成 $n$ 个小区域 $\Delta v_1, \Delta v_2, \ldots, \Delta v_n$，在每个小区域内任取一点 $(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)$，作和式：

$$S_n = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta v_i$$

当分割无限细密时，若 $S_n$ 趋于确定的极限值，则称 $f(x,y,z)$ 在 $\Omega$ 上可积，此极限值称为 $f(x,y,z)$ 在 $\Omega$ 上的三重积分：

$$\iiint_\Omega f(x,y,z)\,dv = \lim_{\|\Delta v\| \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta v_i$$

一般方法的计算

三重积分的计算通常将其转化为累次积分，主要有以下几种方法：

1. 穿线法（投影法）

将积分区域 $\Omega$ 投影到 $xy$ 平面得区域 $D_{xy}$：

$$\iiint_\Omega f(x,y,z)\,dv = \iint_{D_{xy}} dx dy \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz$$

其中 $z_1(x,y)$ 和 $z_2(x,y)$ 分别是区域 $\Omega$ 的下表面和上表面。

2. 截面法（切片法）

将积分区域 $\Omega$ 按某个坐标轴（如 $z$ 轴）切片：

$$\iiint_\Omega f(x,y,z)\,dv = \int_{z_{\min}}^{z_{\max}} \left(\iint_{D_z} f(x,y,z)\,dx dy\right) dz$$

其中 $D_z$ 是用平面 $z = \text{常数}$ 截区域 $\Omega$ 所得的截面。

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柱坐标系下的计算

柱坐标变换

$$\begin{cases} x = r\cos\theta \\ y = r\sin\theta \\ z = z \end{cases}, \quad dv = r\,drd\theta dz$$

因此：

$$\iiint_\Omega f(x,y,z)\,dv = \iiint_\Omega f(r\cos\theta, r\sin\theta, z) \cdot r\,drd\theta dz$$

适用情况

• 积分区域在 $xy$ 平面的投影是圆形或环形
• 被积函数包含 $x^2 + y^2$ 的形式

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球坐标系下的计算

球坐标变换

$$\begin{cases} x = r\sin\varphi\cos\theta \\ y = r\sin\varphi\sin\theta \\ z = r\cos\varphi \end{cases}, \quad dv = r^2\sin\varphi\,drd\varphi d\theta$$

其中：

• $r \geq 0$：点到原点的距离
• $0 \leq \varphi \leq \pi$：点与 $z$ 轴正向的夹角（极角）
• $0 \leq \theta \leq 2\pi$：点在 $xy$ 平面的投影与 $x$ 轴的夹角（方位角）

因此：

$$\iiint_\Omega f(x,y,z)\,dv = \iiint_\Omega f(r\sin\varphi\cos\theta, r\sin\varphi\sin\theta, r\cos\varphi) \cdot r^2\sin\varphi\,drd\varphi d\theta$$

适用情况

• 积分区域是球形或部分球形
• 被积函数包含 $x^2 + y^2 + z^2$ 的形式

例题1

计算 $I = \iiint_\Omega \sqrt{x^2+y^2}\,dv$，其中 $\Omega$ 由锥面 $z = \sqrt{x^2+y^2}$ 与圆柱面 $x^2+y^2 = 2x$ 及平面 $z=0$ 所围成。

解：

分析积分区域：

• 锥面：$z = \sqrt{x^2+y^2}$ 即 $z = r$（柱坐标下）
• 圆柱面：$x^2+y^2 = 2x$ 即 $r = 2\cos\theta$
• 平面：$z = 0$

由于被积函数 $\sqrt{x^2+y^2} = r$，且积分区域在 $xy$ 平面的投影是圆，采用柱坐标。

确定积分限：

• $\theta$：从 $-\frac{\pi}{2}$ 到 $\frac{\pi}{2}$（因为 $r = 2\cos\theta \geq 0$）
• $r$：从 $0$ 到 $2\cos\theta$
• $z$：从 $0$ 到 $r$

计算积分：

$$\begin{aligned} I &= \iiint_\Omega r\,dv = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_0^{2\cos\theta} dr \int_0^r r \cdot r\,dz \\ &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_0^{2\cos\theta} r^2 \cdot r\,dr \\ &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_0^{2\cos\theta} r^3\,dr \\ &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left[\frac{r^4}{4}\right]_0^{2\cos\theta} d\theta \\ &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(2\cos\theta)^4}{4} d\theta \\ &= 4\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^4\theta\,d\theta \end{aligned}$$

利用对称性：

$$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^4\theta\,d\theta = 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4\theta\,d\theta$$

使用降幂公式：

$$\cos^4\theta = \frac{3 + 4\cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}$$

因此：

$$\begin{aligned} I &= 4 \cdot 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{3 + 4\cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}\,d\theta \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} (3 + 4\cos 2\theta + \cos 4\theta)\,d\theta \\ &= \left[3\theta + 2\sin 2\theta + \frac{\sin 4\theta}{4}\right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \frac{3\pi}{2} \end{aligned}$$

例题2

计算 $I = \iiint_\Omega z\sqrt{x^2+y^2+z^2}\,dv$，其中 $\Omega$ 是上半球体 $x^2+y^2+z^2 \leq a^2$，$z \geq 0$。

解：

由于积分区域是上半球体，且被积函数包含 $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$，采用球坐标。

球坐标变换：

• $x = r\sin\varphi\cos\theta$
• $y = r\sin\varphi\sin\theta$
• $z = r\cos\varphi$
• $\sqrt{x^2+y^2+z^2} = r$

确定积分限：

• $r$：从 $0$ 到 $a$
• $\varphi$：从 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$（上半球）
• $\theta$：从 $0$ 到 $2\pi$

计算积分：

$$\begin{aligned} I &= \iiint_\Omega r\cos\varphi \cdot r \cdot r^2\sin\varphi\,drd\varphi d\theta \\ &= \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\frac{\pi}{2}} d\varphi \int_0^a r^4\cos\varphi\sin\varphi\,dr \\ &= 2\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi \int_0^a r^4\,dr \\ &= 2\pi \cdot \frac{1}{2}\sin^2\varphi\Bigg|_0^{\frac{\pi}{2}} \cdot \frac{a^5}{5} \\ &= 2\pi \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{a^5}{5} \\ &= \frac{\pi a^5}{5} \end{aligned}$$

例题3

计算 $I = \iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2)\,dv$，其中 $\Omega$ 是两个球 $x^2+y^2+z^2 \leq a^2$ 和 $x^2+y^2+z^2 \leq 2az$ 的公共部分。

解：

首先分析两个球的交界面：

• 第一个球：$x^2+y^2+z^2 = a^2$，中心在原点，半径为 $a$
• 第二个球：$x^2+y^2+z^2 = 2az$，可化为 $x^2+y^2+(z-a)^2 = a^2$，中心在 $(0,0,a)$，半径为 $a$

求两球面的交线：

$$a^2 = 2az \implies z = \frac{a}{2}$$

代入第一个球方程：

$$x^2+y^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{4}$$

采用球坐标计算。确定积分限：

• 在 $0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{3}$：上边界为第一个球面 $r = a$
• 在 $\frac{\pi}{3} \leq \varphi \leq \frac{\pi}{2}$：上边界为第二个球面 $r = 2a\cos\varphi$

计算积分：

$$\begin{aligned} I &= \iiint_\Omega r^2 \cdot r^2\sin\varphi\,drd\varphi d\theta \\ &= \int_0^{2\pi} d\theta \left[\int_0^{\frac{\pi}{3}} \sin\varphi d\varphi \int_0^a r^4 dr + \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \sin\varphi d\varphi \int_0^{2a\cos\varphi} r^4 dr\right] \\ &= 2\pi \left[\frac{a^5}{5} \int_0^{\frac{\pi}{3}} \sin\varphi d\varphi + \frac{32a^5}{5} \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \sin\varphi \cos^5\varphi d\varphi\right] \\ &= 2\pi \left[\frac{a^5}{5}(1-\cos\frac{\pi}{3}) + \frac{32a^5}{5} \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \sin\varphi \cos^5\varphi d\varphi\right] \\ &= 2\pi \left[\frac{a^5}{5}\cdot\frac{1}{2} + \frac{32a^5}{5}\cdot\frac{\cos^6\varphi}{6}\Bigg|_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\right] \\ &= 2\pi \left[\frac{a^5}{10} + \frac{16a^5}{15}\left(0-\frac{1}{64}\right)\right] \\ &= 2\pi \left[\frac{a^5}{10} - \frac{a^5}{60}\right] = 2\pi \cdot \frac{a^5}{12} = \frac{\pi a^5}{6} \end{aligned}$$