泰勒展开（Taylor Expansion） 是用多项式逼近光滑函数的重要数学工具。对于一个在某点附近足够光滑的函数，我们可以用一个无限项的多项式来精确地表示这个函数。

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基本定义

设函数 $f(x)$ 在点 $x = a$ 处具有 $n+1$ 阶导数，则 $f(x)$ 在 $x = a$ 处的泰勒展开为：

$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)$$

其中 $R_n(x)$ 为余项，常见的余项形式有：

• 拉格朗日余项：$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$，其中 $\xi$ 介于 $a$ 与 $x$ 之间
• 佩亚诺余项：$R_n(x) = o((x-a)^n)$

麦克劳林展开

麦克劳林展开（Maclaurin Expansion） 是泰勒展开在 $a = 0$ 处的特例：

$$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + R_n(x)$$

两者的区别

特性	泰勒展开	麦克劳林展开
展开点	任意点 $x = a$	固定点 $x = 0$
适用性	更广泛，可在任意点展开	仅在 $x = 0$ 处展开
计算复杂度	需要计算 $f(a), f'(a), f''(a), \ldots$	需要计算 $f(0), f'(0), f''(0), \ldots$
使用场景	函数在某点附近的分析	函数在原点附近的分析，级数求和

常见函数的麦克劳林展开

• 指数函数：$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$
• 正弦函数：$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$
• 余弦函数：$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$
• 对数函数：$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$ ($|x| < 1$)

泰勒展开在数值计算、极限求解、积分计算等领域都有广泛应用。

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例题1

设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上二阶可导，且 $f''(x)<0$。证明：

$$\int_0^1 f(x)\,dx < f\!\left(\tfrac12\right).$$

证明：

对任意 $x\in[0,1]$，在点 $x_0=\tfrac12$ 处作泰勒展开（带拉格朗日余项）：

$$\begin{aligned} f(x) &= f\!\left(\tfrac12\right) + f'\!\left(\tfrac12\right)\bigl(x-\tfrac12\bigr) + \frac{f''(t)}{2}\bigl(x-\tfrac12\bigr)^2, \\ &\quad t \text{ 介于 } \tfrac12 \text{ 与 } x \text{ 之间。} \end{aligned}$$

因为 $f''(x)<0$，故 $f''(t)<0$，于是

$$\frac{f''(t)}{2}\bigl(x-\tfrac12\bigr)^2 < 0,$$

从而

$$f(x) < f\!\left(\tfrac12\right) + f'\!\left(\tfrac12\right)\bigl(x-\tfrac12\bigr).$$

两边在 $[0,1]$ 上积分：

$$\begin{aligned} \int_0^1 f(x)\,dx &< \int_0^1 \left[ f\!\left(\tfrac12\right) + f'\!\left(\tfrac12\right)\bigl(x-\tfrac12\bigr) \right] dx \\ &= f\!\left(\tfrac12\right)\int_0^1 dx + f'\!\left(\tfrac12\right)\int_0^1 \bigl(x-\tfrac12\bigr) dx. \end{aligned}$$

注意

$$\int_0^1 dx = 1, \qquad \int_0^1 \bigl(x-\tfrac12\bigr) dx = 0,$$

因此

$$\int_0^1 f(x)\,dx < f\!\left(\tfrac12\right).$$

证毕。

例题2

设 $g(x)$ 在 $[0,1]$ 上为正值连续函数，证明：

$$\int_{0}^{1} \ln g(x)\,dx < \ln \int_{0}^{1} g(x)\,dx$$

证明：

令 $f(t) = \ln t$，其中 $t > 0$。由于 $f''(t) = -\frac{1}{t^2} < 0$，函数 $f(t)$ 是严格凹函数。

根据琴生不等式（Jensen's Inequality），对于严格凹函数，有：

$$f\!\left( \int_{0}^{1} g(x)\,dx \right) > \int_{0}^{1} f(g(x))\,dx$$

即：

$$\ln \left( \int_{0}^{1} g(x)\,dx \right) > \int_{0}^{1} \ln g(x)\,dx$$

移项得到：

$$\int_{0}^{1} \ln g(x)\,dx < \ln \int_{0}^{1} g(x)\,dx$$

等号成立条件：

等号成立当且仅当 $g(x)$ 为常数函数，即 $g(x) = c$（其中 $c > 0$）。

证毕。

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注： 这个不等式实际上是Jensen不等式的一个特例，体现了对数函数的凹性特征。从直观上理解，对数函数的增长速度是递减的，因此平均值的对数大于对数的平均值。