泰勒展开
约 911 字大约 3 分钟
2025-11-20
泰勒展开(Taylor Expansion) 是用多项式逼近光滑函数的重要数学工具。对于一个在某点附近足够光滑的函数,我们可以用一个无限项的多项式来精确地表示这个函数。
基本定义
设函数 f(x) 在点 x=a 处具有 n+1 阶导数,则 f(x) 在 x=a 处的泰勒展开为:
f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+2!f′′(a)(x−a)2+3!f′′′(a)(x−a)3+⋯+n!f(n)(a)(x−a)n+Rn(x)
其中 Rn(x) 为余项,常见的余项形式有:
- 拉格朗日余项:Rn(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)(x−a)n+1,其中 ξ 介于 a 与 x 之间
- 佩亚诺余项:Rn(x)=o((x−a)n)
麦克劳林展开
麦克劳林展开(Maclaurin Expansion) 是泰勒展开在 a=0 处的特例:
f(x)=f(0)+f′(0)x+2!f′′(0)x2+3!f′′′(0)x3+⋯+n!f(n)(0)xn+Rn(x)
两者的区别
| 特性 | 泰勒展开 | 麦克劳林展开 |
|---|---|---|
| 展开点 | 任意点 x=a | 固定点 x=0 |
| 适用性 | 更广泛,可在任意点展开 | 仅在 x=0 处展开 |
| 计算复杂度 | 需要计算 f(a),f′(a),f′′(a),… | 需要计算 f(0),f′(0),f′′(0),… |
| 使用场景 | 函数在某点附近的分析 | 函数在原点附近的分析,级数求和 |
常见函数的麦克劳林展开
- 指数函数:ex=1+x+2!x2+3!x3+⋯
- 正弦函数:sinx=x−3!x3+5!x5−⋯
- 余弦函数:cosx=1−2!x2+4!x4−⋯
- 对数函数:ln(1+x)=x−2x2+3x3−⋯ (∣x∣<1)
泰勒展开在数值计算、极限求解、积分计算等领域都有广泛应用。
例题1
设函数 f(x) 在区间 [0,1] 上二阶可导,且 f′′(x)<0。证明:
∫01f(x)dx<f(21).
证明:
对任意 x∈[0,1],在点 x0=21 处作泰勒展开(带拉格朗日余项):
f(x)=f(21)+f′(21)(x−21)+2f′′(t)(x−21)2,t 介于 21 与 x 之间。
因为 f′′(x)<0,故 f′′(t)<0,于是
2f′′(t)(x−21)2<0,
从而
f(x)<f(21)+f′(21)(x−21).
两边在 [0,1] 上积分:
∫01f(x)dx<∫01[f(21)+f′(21)(x−21)]dx=f(21)∫01dx+f′(21)∫01(x−21)dx.
注意
∫01dx=1,∫01(x−21)dx=0,
因此
∫01f(x)dx<f(21).
证毕。
例题2
设 g(x) 在 [0,1] 上为正值连续函数,证明:
∫01lng(x)dx<ln∫01g(x)dx
证明:
令 f(t)=lnt,其中 t>0。由于 f′′(t)=−t21<0,函数 f(t) 是严格凹函数。
根据琴生不等式(Jensen's Inequality),对于严格凹函数,有:
f(∫01g(x)dx)>∫01f(g(x))dx
即:
ln(∫01g(x)dx)>∫01lng(x)dx
移项得到:
∫01lng(x)dx<ln∫01g(x)dx
等号成立条件:
等号成立当且仅当 g(x) 为常数函数,即 g(x)=c(其中 c>0)。
证毕。
注: 这个不等式实际上是Jensen不等式的一个特例,体现了对数函数的凹性特征。从直观上理解,对数函数的增长速度是递减的,因此平均值的对数大于对数的平均值。
