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外观

曲面积分

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2025-11-21

曲面积分（Surface Integral） 是多元函数积分学的重要内容，分为第一类曲面积分（对面积的积分）和第二类曲面积分（对坐标的积分）。曲面积分在物理中有广泛应用，如计算通量、流量、表面积等。

  1. 第一类曲面积分：∬Sf(x,y,z) dS\iint_S f(x,y,z)\,dS

    • 对面积的积分
    • 与曲面方向无关

  2. 第二类曲面积分：∬SP dydz+Q dzdx+R dxdy\iint_S P\,dydz + Q\,dzdx + R\,dxdy

    • 对坐标的积分
    • 与曲面方向有关

第一类曲面积分

第一类曲面积分定义为：

∬Sf(x,y,z) dS=lim⁡∥ΔS∥→0∑i=1nf(ξi,ηi,ζi)ΔSi\iint_S f(x,y,z)\,dS = \lim_{\|\Delta S\| \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)\Delta S_i

其中 ΔSi\Delta S_i 是曲面块的小块面积。

若曲面 SS 的参数方程为：

{x=x(u,v)y=y(u,v)z=z(u,v),(u,v)∈D\begin{cases} x = x(u,v) \\ y = y(u,v) \\ z = z(u,v) \end{cases}, \quad (u,v) \in D

则面积元素为：

dS=(∂(y,z)∂(u,v))2+(∂(z,x)∂(u,v))2+(∂(x,y)∂(u,v))2 du dvdS = \sqrt{\left(\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}\right)^2+\left(\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}\right)^2+\left(\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right)^2}\,du\,dv

例题1

计算 ∬S(x2+y2) dS\iint_S (x^2+y^2)\,dS，其中 SS 是球面 x2+y2+z2=a2x^2+y^2+z^2=a^2。

解：

采用球坐标参数化：

{x=asin⁡φcos⁡θy=asin⁡φsin⁡θz=acos⁡φ\begin{cases} x = a\sin\varphi\cos\theta \\ y = a\sin\varphi\sin\theta \\ z = a\cos\varphi \end{cases}

其中 φ∈[0,π]\varphi \in [0,\pi]，θ∈[0,2π]\theta \in [0,2\pi]。

计算面积元素：

dS=a2sin⁡φ dφ dθdS = a^2\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta

因此：

∬S(x2+y2) dS=∬Sa2sin⁡2φ dS=∫02πdθ∫0πa2sin⁡2φ⋅a2sin⁡φ dφ=2πa4∫0πsin⁡3φ dφ=2πa4⋅43=8πa43\begin{aligned} \iint_S (x^2+y^2)\,dS &= \iint_S a^2\sin^2\varphi\,dS \\ &= \int_0^{2\pi}d\theta\int_0^\pi a^2\sin^2\varphi \cdot a^2\sin\varphi\,d\varphi \\ &= 2\pi a^4\int_0^\pi \sin^3\varphi\,d\varphi \\ &= 2\pi a^4 \cdot \frac{4}{3} = \frac{8\pi a^4}{3} \end{aligned}

例题2

计算 ∬Sx2+y2 dS\iint_S \sqrt{x^2+y^2}\,dS，其中 SS 是锥面 z=x2+y2z = \sqrt{x^2+y^2} 被平面 z=1z=1 截下的部分。

解：

采用柱坐标参数化：

{x=rcos⁡θy=rsin⁡θz=r\begin{cases} x = r\cos\theta \\ y = r\sin\theta \\ z = r \end{cases}

投影到 xyxy 平面为圆 r≤1r \leq 1，θ∈[0,2π]\theta \in [0,2\pi]。

对于曲面 z=x2+y2z = \sqrt{x^2+y^2}，有：

∂z∂x=xx2+y2,∂z∂y=yx2+y2\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}

面积元素：

dS=1+(∂z∂x)2+(∂z∂y)2 dx dy=1+1 dx dy=2 r dr dθdS = \sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}\,dx\,dy = \sqrt{1+1}\,dx\,dy = \sqrt{2}\,r\,dr\,d\theta

因此：

∬Sx2+y2 dS=∫02πdθ∫01r⋅2r dr=2∫02πdθ∫01r2 dr=2⋅2π⋅13=22π3\begin{aligned} \iint_S \sqrt{x^2+y^2}\,dS &= \int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1 r \cdot \sqrt{2}r\,dr \\ &= \sqrt{2}\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1 r^2\,dr \\ &= \sqrt{2}\cdot 2\pi\cdot\frac{1}{3} = \frac{2\sqrt{2}\pi}{3} \end{aligned}

第二类曲面积分

高斯公式

设 Ω\Omega 是空间中的有界闭区域，其边界 ∂Ω\partial\Omega 是分片光滑的封闭曲面，取外侧。若 P(x,y,z)P(x,y,z)、Q(x,y,z)Q(x,y,z)、R(x,y,z)R(x,y,z) 在 Ω\Omega 上具有一阶连续偏导数，则：

∭Ω(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z) dV=∯∂ΩP dydz+Q dzdx+R dxdy\iiint_\Omega \left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\,dV = \oiint_{\partial\Omega} P\,dydz + Q\,dzdx + R\,dxdy

例题1

计算 ∯Sx3 dydz+y3 dzdx+z3 dxdy\oiint_S x^3\,dydz + y^3\,dzdx + z^3\,dxdy，其中 SS 是球面 x2+y2+z2=a2x^2+y^2+z^2=a^2 的外侧。

解：

设 Ω\Omega 为球体 x2+y2+z2≤a2x^2+y^2+z^2\leq a^2，应用高斯公式：

左边=∭Ω(3x2+3y2+3z2) dV=3∭Ω(x2+y2+z2) dV\begin{aligned} \text{左边} &= \iiint_\Omega (3x^2+3y^2+3z^2)\,dV \\ &= 3\iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2)\,dV \end{aligned}

使用球坐标：

∭Ω(x2+y2+z2) dV=∫02πdθ∫0πdφ∫0ar2⋅r2sin⁡φ dr=2π∫0πsin⁡φ dφ∫0ar4 dr=2π⋅2⋅a55=4πa55\begin{aligned} \iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2)\,dV &= \int_0^{2\pi}d\theta\int_0^\pi d\varphi\int_0^a r^2\cdot r^2\sin\varphi\,dr \\ &= 2\pi\int_0^\pi \sin\varphi\,d\varphi \int_0^a r^4\,dr \\ &= 2\pi\cdot 2\cdot \frac{a^5}{5} = \frac{4\pi a^5}{5} \end{aligned}

因此：

∯Sx3 dydz+y3 dzdx+z3 dxdy=3⋅4πa55=12πa55\oiint_S x^3\,dydz + y^3\,dzdx + z^3\,dxdy = 3 \cdot \frac{4\pi a^5}{5} = \frac{12\pi a^5}{5}

例题2

计算 ∯Sx dydz+y dzdx+z dxdy\oiint_S x\,dydz + y\,dzdx + z\,dxdy，其中 SS 是立方体 0≤x,y,z≤a0\leq x,y,z\leq a 的表面外侧。

解：

应用高斯公式：

左边=∭Ω(∂x∂x+∂y∂y+∂z∂z) dV=∭Ω3 dV=3a3\begin{aligned} \text{左边} &= \iiint_\Omega \left(\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial z}\right)\,dV \\ &= \iiint_\Omega 3\,dV = 3a^3 \end{aligned}

其中 Ω\Omega 是立方体，体积为 a3a^3。

斯托克斯公式

设 SS 是分段光滑的有向曲面，其边界 ∂S\partial S 为分段光滑的有向封闭曲线。若 P(x,y,z)P(x,y,z)、Q(x,y,z)Q(x,y,z)、R(x,y,z)R(x,y,z) 在包含 SS 的某区域内具有一阶连续偏导数，则：

∮∂SP dx+Q dy+R dz=∬S(∂R∂y−∂Q∂z)dydz+(∂P∂z−∂R∂x)dzdx+(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy\oint_{\partial S} P\,dx + Q\,dy + R\,dz = \iint_S \left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)dydz + \left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)dzdx + \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy

例题1

计算 ∮L(y−z) dx+(z−x) dy+(x−y) dz\oint_L (y-z)\,dx + (z-x)\,dy + (x-y)\,dz，其中 LL 为椭圆 x2+y2=1x^2+y^2=1 与平面 x+z=1x+z=1 的交线，从 zz 轴正向看去为逆时针方向。

解：

取曲面 SS 为平面 x+z=1x+z=1 被柱面 x2+y2≤1x^2+y^2\leq 1 截下的部分，取上侧。

应用斯托克斯公式：

右边=∬S(∂(x−y)∂y−∂(z−x)∂z)dydz+(∂(y−z)∂z−∂(x−y)∂x)dzdx+(∂(z−x)∂x−∂(y−z)∂y)dxdy=∬S(−1−1) dydz+(0−1) dzdx+(0−1) dxdy=−∬S(dy dz+dz dx+dx dy)\begin{aligned} \text{右边} &= \iint_S \left(\frac{\partial(x-y)}{\partial y}-\frac{\partial(z-x)}{\partial z}\right)dydz \\ &\quad + \left(\frac{\partial(y-z)}{\partial z}-\frac{\partial(x-y)}{\partial x}\right)dzdx \\ &\quad + \left(\frac{\partial(z-x)}{\partial x}-\frac{\partial(y-z)}{\partial y}\right)dxdy \\ &= \iint_S (-1-1)\,dydz + (0-1)\,dzdx + (0-1)\,dxdy \\ &= -\iint_S (dy\,dz + dz\,dx + dx\,dy) \end{aligned}

由于 SS 是平面 x+z=1x+z=1，其法向量为 n⃗=(1,0,1)\vec{n} = (1,0,1)，单位法向量为 12(1,0,1)\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1)。

曲面 SS 的面积元素为 dS=2 dxdydS = \sqrt{2}\,dxdy，方向余弦为：

cos⁡α=12,cos⁡β=0,cos⁡γ=12\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \cos\beta = 0, \quad \cos\gamma = \frac{1}{\sqrt{2}}

因此：

dy dz=cos⁡α dS=122 dxdy=dxdydy\,dz = \cos\alpha\,dS = \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2}\,dxdy = dxdy

类似地：

dz dx=cos⁡β dS=0,dx dy=cos⁡γ dS=dxdydz\,dx = \cos\beta\,dS = 0, \quad dx\,dy = \cos\gamma\,dS = dxdy

代入得：

右边=−∬S(dxdy+0+dxdy)=−2∬Sdxdy=−2⋅π⋅1=−2π\text{右边} = -\iint_S (dxdy + 0 + dxdy) = -2\iint_S dxdy = -2\cdot \pi \cdot 1 = -2\pi

其中 ∬Sdxdy\iint_S dxdy 是曲面 SS 在 xyxy 平面上的投影面积，即圆 x2+y2≤1x^2+y^2\leq 1 的面积 π\pi。