曲面积分
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2025-11-21
曲面积分(Surface Integral) 是多元函数积分学的重要内容,分为第一类曲面积分(对面积的积分)和第二类曲面积分(对坐标的积分)。曲面积分在物理中有广泛应用,如计算通量、流量、表面积等。
第一类曲面积分:∬Sf(x,y,z)dS
- 对面积的积分
- 与曲面方向无关
第二类曲面积分:∬SPdydz+Qdzdx+Rdxdy
- 对坐标的积分
- 与曲面方向有关
第一类曲面积分
第一类曲面积分定义为:
∬Sf(x,y,z)dS=∥ΔS∥→0limi=1∑nf(ξi,ηi,ζi)ΔSi
其中 ΔSi 是曲面块的小块面积。
若曲面 S 的参数方程为:
⎩⎨⎧x=x(u,v)y=y(u,v)z=z(u,v),(u,v)∈D
则面积元素为:
dS=(∂(u,v)∂(y,z))2+(∂(u,v)∂(z,x))2+(∂(u,v)∂(x,y))2dudv
例题1
计算 ∬S(x2+y2)dS,其中 S 是球面 x2+y2+z2=a2。
解:
采用球坐标参数化:
⎩⎨⎧x=asinφcosθy=asinφsinθz=acosφ
其中 φ∈[0,π],θ∈[0,2π]。
计算面积元素:
dS=a2sinφdφdθ
因此:
∬S(x2+y2)dS=∬Sa2sin2φdS=∫02πdθ∫0πa2sin2φ⋅a2sinφdφ=2πa4∫0πsin3φdφ=2πa4⋅34=38πa4
例题2
计算 ∬Sx2+y2dS,其中 S 是锥面 z=x2+y2 被平面 z=1 截下的部分。
解:
采用柱坐标参数化:
⎩⎨⎧x=rcosθy=rsinθz=r
投影到 xy 平面为圆 r≤1,θ∈[0,2π]。
对于曲面 z=x2+y2,有:
∂x∂z=x2+y2x,∂y∂z=x2+y2y
面积元素:
dS=1+(∂x∂z)2+(∂y∂z)2dxdy=1+1dxdy=2rdrdθ
因此:
∬Sx2+y2dS=∫02πdθ∫01r⋅2rdr=2∫02πdθ∫01r2dr=2⋅2π⋅31=322π
第二类曲面积分
高斯公式
设 Ω 是空间中的有界闭区域,其边界 ∂Ω 是分片光滑的封闭曲面,取外侧。若 P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z) 在 Ω 上具有一阶连续偏导数,则:
∭Ω(∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R)dV=∬∂ΩPdydz+Qdzdx+Rdxdy
例题1
计算 ∬Sx3dydz+y3dzdx+z3dxdy,其中 S 是球面 x2+y2+z2=a2 的外侧。
解:
设 Ω 为球体 x2+y2+z2≤a2,应用高斯公式:
左边=∭Ω(3x2+3y2+3z2)dV=3∭Ω(x2+y2+z2)dV
使用球坐标:
∭Ω(x2+y2+z2)dV=∫02πdθ∫0πdφ∫0ar2⋅r2sinφdr=2π∫0πsinφdφ∫0ar4dr=2π⋅2⋅5a5=54πa5
因此:
∬Sx3dydz+y3dzdx+z3dxdy=3⋅54πa5=512πa5
例题2
计算 ∬Sxdydz+ydzdx+zdxdy,其中 S 是立方体 0≤x,y,z≤a 的表面外侧。
解:
应用高斯公式:
左边=∭Ω(∂x∂x+∂y∂y+∂z∂z)dV=∭Ω3dV=3a3
其中 Ω 是立方体,体积为 a3。
斯托克斯公式
设 S 是分段光滑的有向曲面,其边界 ∂S 为分段光滑的有向封闭曲线。若 P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z) 在包含 S 的某区域内具有一阶连续偏导数,则:
∮∂SPdx+Qdy+Rdz=∬S(∂y∂R−∂z∂Q)dydz+(∂z∂P−∂x∂R)dzdx+(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy
例题1
计算 ∮L(y−z)dx+(z−x)dy+(x−y)dz,其中 L 为椭圆 x2+y2=1 与平面 x+z=1 的交线,从 z 轴正向看去为逆时针方向。
解:
取曲面 S 为平面 x+z=1 被柱面 x2+y2≤1 截下的部分,取上侧。
应用斯托克斯公式:
右边=∬S(∂y∂(x−y)−∂z∂(z−x))dydz+(∂z∂(y−z)−∂x∂(x−y))dzdx+(∂x∂(z−x)−∂y∂(y−z))dxdy=∬S(−1−1)dydz+(0−1)dzdx+(0−1)dxdy=−∬S(dydz+dzdx+dxdy)
由于 S 是平面 x+z=1,其法向量为 n=(1,0,1),单位法向量为 21(1,0,1)。
曲面 S 的面积元素为 dS=2dxdy,方向余弦为:
cosα=21,cosβ=0,cosγ=21
因此:
dydz=cosαdS=212dxdy=dxdy
类似地:
dzdx=cosβdS=0,dxdy=cosγdS=dxdy
代入得:
右边=−∬S(dxdy+0+dxdy)=−2∬Sdxdy=−2⋅π⋅1=−2π
其中 ∬Sdxdy 是曲面 S 在 xy 平面上的投影面积,即圆 x2+y2≤1 的面积 π。
