曲线积分（Line Integral） 是多元函数积分学的重要内容，分为第一类曲线积分（对弧长的积分）和第二类曲线积分（对坐标的积分）。曲线积分在物理中有广泛应用，如计算功、质量、环流等。

1. 第一类曲线积分：$\int_L f(x,y,z)\,ds$

   • 对弧长的积分
   • 与路径方向无关

2. 第二类曲线积分：$\int_L P\,dx + Q\,dy + R\,dz$

   • 对坐标的积分
   • 与路径方向有关

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第一类曲线积分

第一类曲线积分定义为：

$$\int_L f(x,y,z)\,ds = \lim_{\|\Delta s\| \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)\Delta s_i$$

其中 $\Delta s_i$ 是曲线段的小段弧长。

若曲线 $L$ 的参数方程为：

$$\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases}, \quad t \in [\alpha,\beta]$$

则：

$$\int_L f(x,y,z)\,ds = \int_\alpha^\beta f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)+z'^2(t)}\,dt$$

例题1

设 $L$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 与平面 $x+y+z=0$ 的交线，求 $\oint_L xy\,ds$。

解：

方法一：参数法

建立坐标系变换：

$$\begin{cases} x+\frac{y}{2} = \cos\theta \\ \frac{\sqrt{3}}{2}y = \sin\theta \\ z = -(x+y) \end{cases}$$

解得：

$$\begin{cases} x = \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta - \frac{1}{\sqrt{6}}\sin\theta \\ y = \frac{\sqrt{6}}{3}\sin\theta \\ z = -\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta - \frac{1}{\sqrt{6}}\sin\theta \end{cases}, \quad \theta \in [0,2\pi]$$

计算弧长微元：

$$ds = \sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}\,d\theta = d\theta$$

因此：

$$\begin{aligned} I &= \int_0^{2\pi} x(\theta) \cdot y(\theta)\,d\theta \\ &= \int_0^{2\pi}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\sin\theta\cos\theta-\frac{1}{3}\sin^2\theta\right)d\theta \\ &= \int_0^{2\pi}\left(\frac{\sqrt{3}}{6}\sin2\theta-\frac{1}{3}\sin^2\theta\right)d\theta \\ &= -\frac{1}{3}\int_0^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta = -\frac{1}{3}\pi \end{aligned}$$

方法二：对称性技巧

注意到在 $L$ 上：$x+y+z=0$，$x^2+y^2+z^2=1$

利用恒等式：

$$\frac{(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)}{3} = xy+yz+zx$$

由于 $x+y+z=0$，所以 $xy+yz+zx = -\frac{1}{3}$

因此：

$$\oint_L xy\,ds = \frac{1}{3}\oint_L(xy+yz+zx)\,ds = -\frac{1}{3}\oint_L ds = -\frac{1}{3}\cdot 2\pi = -\frac{2\pi}{3}$$

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第二类曲线积分

格林公式

定理：设 $D$ 是单连通区域，$L$ 是 $D$ 的正向边界，$P(x,y)$、$Q(x,y)$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导数，则：

$$\oint_{L^+} P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$$

例题1

求 $I=\int_L\left(e^x\sin y-b(x+y)\right)dx+\left(e^x\cos y-ax\right)dy$，其中 $a,b$ 为正常数，$L$ 为从点 $A(2a,0)$ 沿曲线 $y=\sqrt{ax-x^2}$ 到点 $O(0,0)$ 的弧。

解：

构造闭合回路：$I = \oint_{L+\overrightarrow{OA}}-\int_{\overrightarrow{OA}}$

应用格林公式：

$$\begin{aligned} \oint_{L+\overrightarrow{OA}} &= \iint_{D_1}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)d\sigma - \int_0^{2a}(-bx)dx \\ &= (b-a)\iint_{D_1}d\sigma+2a^2b \\ &= (b-a)\cdot\frac{\pi a^2}{2}+2a^2b \end{aligned}$$

其中 $D_1$ 是半圆区域，面积为 $\frac{\pi a^2}{2}$。

例题2：挖洞法

计算曲线积分 $I=\oint_{L^+}\frac{xdy-ydx}{4x^2+y^2}$，其中 $L$ 是以 $(1,0)$ 为中心，$R$ 为半径的圆周($R>1$)，取逆时针方向。

解：

被积函数在原点有奇点，采用"挖洞法"。

作小椭圆 $L_1:4x^2+y^2=\varepsilon^2$（$\varepsilon>0$ 且足够小）

该椭圆可写为：$\frac{x^2}{(\frac{\varepsilon}{2})^2}+\frac{y^2}{\varepsilon^2}=1$

根据格林公式：

$$I = \oint_{L^+} = \oint_{L^+-L_1^+}+\oint_{L_1^+} = 0+\oint_{L_1^+}$$

在 $L_1$ 上应用格林公式：

$$\oint_{L_1^+} = \frac{1}{\varepsilon^2}\iint_D 2\,d\sigma = \frac{2}{\varepsilon^2}\cdot\pi\cdot\frac{\varepsilon^2}{2} = \pi$$

例题3：补线+挖洞

计算 $I=\int_{L^+}\frac{(x+y)dx-(x-y)dy}{x^2+y^2}$，其中 $L$ 为从点 $A(\pi,-\pi)$ 沿曲线 $y=\pi\cos x$ 到点 $B(-\pi,-\pi)$ 的弧段。

解：

构造闭合回路并处理奇点：

$$I = \oint_{L^+}= \oint_{L^+-L_1^++\overrightarrow{OA}}+\oint_{L_1^+}-\oint_{\overrightarrow{OA}}$$

其中 $L_1$ 是小圆 $x^2+y^2=\varepsilon^2$。

计算得到：

$$\begin{aligned} I &= \oint_{L_1^+}-\oint_{\overrightarrow{OA}} \\ &= \frac{1}{\varepsilon^2}\iint_{D_{L_1^+}}(-2)d\sigma-\int_{-\pi}^{\pi}\frac{x-\pi}{x^2+\pi^2}dx \\ &= 2\arctan1-2\pi = -\frac{3\pi}{2} \end{aligned}$$

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路径无关的条件

曲线积分 $\int_L P\,dx+Q\,dy$ 与路径无关的充要条件是：

$$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$$

例题1

设函数 $f(x,y)$ 在 $xOy$ 平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分 $\int_L 2xy\,dx+Q(x,y)\,dy$ 与路径无关，并且对任意 $t$ 恒有：

$$\int_{(0,0)}^{(t,1)}2xy\,dx+Q(x,y)\,dy = \int_{(0,0)}^{(1,t)}2xy\,dx+Q(x,y)\,dy$$

求 $Q(x,y)$。

解：

由路径无关条件：

$$\frac{\partial Q}{\partial x} = 2x \implies Q(x,y) = x^2+f(y)$$

利用给定条件：

$$\begin{aligned} \int_0^1(t^2+f(y))dy &= \int_0^t(1+f(y))dy \\ t^2+f(1) &= t+ \int_0^t f(y)dy \end{aligned}$$

对 $t$ 求导：

$$2t = 1+f(t) \implies f(t) = 2t-1$$

因此：

$$Q(x,y) = x^2+2y-1$$

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齐次函数的积分性质

若函数 $f(x,y)$ 满足 $f(tx,ty) = t^m f(x,y)$，则：

$$xf_x + yf_y = mf(x,y)$$

例题1

设在上半平面 $D=\{(x,y)|y>0\}$ 内函数 $f(x,y)$ 具有偏导数，且对任意 $t>0$ 都有 $f(tx,ty)=t^{-2}f(x,y)$。证明对 $D$ 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 $L$，都有：

$$\int_L yf(x,y)\,dx-xf(x,y)\,dy = 0$$

证明：

对给定条件取对数并求导，或直接使用欧拉齐次函数定理。

由 $f(tx,ty)=t^{-2}f(x,y)$ 知 $f(x,y)$ 是 $-2$ 次齐次函数。

根据齐次函数的性质：

$$xf_x + yf_y = -2f(x,y)$$

对积分应用格林公式：

$$\begin{aligned} \int_L yf\,dx-xf\,dy &= \iint_D\left[\frac{\partial(-xf)}{\partial x}-\frac{\partial(yf)}{\partial y}\right]d\sigma \\ &= \iint_D\left[-f-xf_x-f-yf_y\right]d\sigma \\ &= \iint_D\left[-f-(xf_x+yf_y)\right]d\sigma \\ &= \iint_D\left[-f-(-2f)\right]d\sigma = \iint_D f\,d\sigma \end{aligned}$$

由于 $f(x,y)$ 是 $-2$ 次齐次函数，在 $D$ 上积分结果为零，故原命题得证。