等价无穷小
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2025-11-20
等价无穷小(Equivalent Infinitesimal) 是微积分中的重要概念,用于描述两个函数在极限过程中趋于零的相对速度。等价无穷小在极限计算、近似计算和泰勒展开中有广泛应用。
基本定义
定义:设 α(x) 和 β(x) 是当 x→x0 时的无穷小量,若:
x→x0limβ(x)α(x)=1
则称 α(x) 和 β(x) 是等价无穷小,记作 α(x)∼β(x)。
重要性质
传递性:若 α∼β,β∼γ,则 α∼γ
对称性:若 α∼β,则 β∼α
等价替换原理:在极限计算中,可以用等价无穷小进行替换:
- 若 α∼α′,β∼β′,且 limβ′α′ 存在
- 则 limβα=limβ′α′
乘法保持性:若 α∼α′,β 为任意无穷小
- 则 α⋅β∼α′⋅β
重要
重要:等价无穷小替换只能在乘除运算中使用,不能在加减运算中直接使用。 如:
正确:limx→0x2sinx⋅tanx=limx→0x2x⋅x=1
错误:limx→0x3sinx−tanx=limx→0x3x−x
常见的等价无穷小
当 x→0 时:
三角函数类
sinxcosxtanxarcsinxarctanx=x−6x3+o(x3)∼x=1−2x2+24x4+o(x4)=x+3x3+o(x3)∼x=x+6x3+o(x3)∼x=x−3x3+o(x3)∼x
指数对数类
exln(1+x)ax=1+x+2x2+6x3+o(x3)=x−2x2+3x3+o(x3)∼x=1+xlna+2x2(lna)2+o(x2)(a>0,a=1)
幂函数类
(1+x)α1+x=1+αx+2α(α−1)x2+o(x2)∼1+αx(当∣x∣≪1时)=1+2x−8x2+o(x2)∼1+2x
一些好用的等价无穷小公式
- (1+x)x1 的展开
当 x→0+ 时:
(1+x)x1=e(1−2x+2411x2+o(x2))
- 幂函数余弦形式
当 x→0 时:
1−cosαx∼2αx2
推导:
1−cosαx=1−(1−2x2+o(x2))α=1−(1−2αx2+o(x2))=2αx2+o(x2)
例题1
计算极限:
x→0limx2(1+2x)x1+e2(x−1−2x)
解:
将分子分成两部分分别处理:
第一部分: (1+2x)x1 的展开
令 t=2x,则当 x→0 时,t→0:
(1+2x)x1=(1+t)t2=[(1+t)t1]2=[e(1−2t+2411t2+o(t2))]2=e2(1−t+2447t2+o(t2))=e2(1−2x+647x2+o(x2))
第二部分: e2(x−1−2x) 的展开
1−2xx−1−2x=(1−2x)21=1−x−2x2+o(x2)=x−(1−x−2x2+o(x2))=2x−1+2x2+o(x2)
因此:
e2(x−1−2x)=e2(2x−1+2x2+o(x2))
合并两部分:
分子=e2(1−2x+647x2+o(x2))+e2(2x−1+2x2+o(x2))=e2[(1−1)+(−2x+2x)+(647x2+2x2)+o(x2)]=e2(647x2+63x2+o(x2))=e2(650x2+o(x2))=e2(325x2+o(x2))
计算极限:
x→0limx2(1+2x)x1+e2(x−1−2x)=x→0limx2e2(325x2+o(x2))=e2⋅325=325e2
