等价无穷小（Equivalent Infinitesimal） 是微积分中的重要概念，用于描述两个函数在极限过程中趋于零的相对速度。等价无穷小在极限计算、近似计算和泰勒展开中有广泛应用。

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基本定义

定义：设 $\alpha(x)$ 和 $\beta(x)$ 是当 $x \to x_0$ 时的无穷小量，若：

$$\lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$$

则称 $\alpha(x)$ 和 $\beta(x)$ 是等价无穷小，记作 $\alpha(x) \sim \beta(x)$。

重要性质

1. 传递性：若 $\alpha \sim \beta$，$\beta \sim \gamma$，则 $\alpha \sim \gamma$

2. 对称性：若 $\alpha \sim \beta$，则 $\beta \sim \alpha$

3. 等价替换原理：在极限计算中，可以用等价无穷小进行替换：

   • 若 $\alpha \sim \alpha'$，$\beta \sim \beta'$，且 $\lim \frac{\alpha'}{\beta'}$ 存在
   • 则 $\lim \frac{\alpha}{\beta} = \lim \frac{\alpha'}{\beta'}$

4. 乘法保持性：若 $\alpha \sim \alpha'$，$\beta$ 为任意无穷小

   • 则 $\alpha \cdot \beta \sim \alpha' \cdot \beta$

重要

重要：等价无穷小替换只能在乘除运算中使用，不能在加减运算中直接使用。 如：

正确：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x \cdot \tan x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x \cdot x}{x^2} = 1$

错误：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \tan x}{x^3} \neq \lim_{x \to 0} \frac{x - x}{x^3}$

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常见的等价无穷小

当 $x \to 0$ 时：

三角函数类

$$\begin{aligned} \sin x &= x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) \quad \sim \quad x \\ \cos x &= 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4) \\ \tan x &= x + \frac{x^3}{3} + o(x^3) \quad \sim \quad x \\ \arcsin x &= x + \frac{x^3}{6} + o(x^3) \quad \sim \quad x \\ \arctan x &= x - \frac{x^3}{3} + o(x^3) \quad \sim \quad x \end{aligned}$$

指数对数类

$$\begin{aligned} e^x &= 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3) \\ \ln(1+x) &= x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3) \quad \sim \quad x \\ a^x &= 1 + x\ln a + \frac{x^2}{2}(\ln a)^2 + o(x^2) \quad (a > 0, a \neq 1) \end{aligned}$$

幂函数类

$$\begin{aligned} (1+x)^{\alpha} &= 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 + o(x^2) \\ &\sim \quad 1 + \alpha x \quad \text{（当} |x| \ll 1 \text{时）} \\ \sqrt{1+x} &= 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + o(x^2) \quad \sim \quad 1 + \frac{x}{2} \end{aligned}$$

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一些好用的等价无穷小公式

1. $(1+x)^{\frac{1}{x}}$ 的展开

当 $x \to 0^+$ 时：

$$(1+x)^{\frac{1}{x}} = e\left(1 - \frac{x}{2} + \frac{11x^2}{24} + o(x^2)\right)$$

2. 幂函数余弦形式

当 $x \to 0$ 时：

$$1 - \cos^{\alpha}x \sim \frac{\alpha}{2}x^2$$

推导：

$$\begin{aligned} 1 - \cos^{\alpha}x &= 1 - \left(1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)\right)^{\alpha} \\ &= 1 - \left(1 - \frac{\alpha x^2}{2} + o(x^2)\right) \\ &= \frac{\alpha}{2}x^2 + o(x^2) \end{aligned}$$

例题1

计算极限：

$$\lim_{x\to 0}\frac{(1+2x)^{\frac{1}{x}} + e^2(x-\sqrt{1-2x})}{x^2}$$

解：

将分子分成两部分分别处理：

第一部分： $(1+2x)^{\frac{1}{x}}$ 的展开

令 $t = 2x$，则当 $x \to 0$ 时，$t \to 0$：

$$\begin{aligned} (1+2x)^{\frac{1}{x}} &= (1+t)^{\frac{2}{t}} = \left[(1+t)^{\frac{1}{t}}\right]^2 \\ &= \left[e\left(1 - \frac{t}{2} + \frac{11t^2}{24} + o(t^2)\right)\right]^2 \\ &= e^2\left(1 - t + \frac{47t^2}{24} + o(t^2)\right) \\ &= e^2\left(1 - 2x + \frac{47x^2}{6} + o(x^2)\right) \end{aligned}$$

第二部分： $e^2(x-\sqrt{1-2x})$ 的展开

$$\begin{aligned} \sqrt{1-2x} &= (1-2x)^{\frac{1}{2}} = 1 - x - \frac{x^2}{2} + o(x^2) \\ x - \sqrt{1-2x} &= x - \left(1 - x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)\right) = 2x - 1 + \frac{x^2}{2} + o(x^2) \end{aligned}$$

因此：

$$e^2(x-\sqrt{1-2x}) = e^2\left(2x - 1 + \frac{x^2}{2} + o(x^2)\right)$$

合并两部分：

$$\begin{aligned} \text{分子} &= e^2\left(1 - 2x + \frac{47x^2}{6} + o(x^2)\right) + e^2\left(2x - 1 + \frac{x^2}{2} + o(x^2)\right) \\ &= e^2\left[\left(1-1\right) + \left(-2x + 2x\right) + \left(\frac{47x^2}{6} + \frac{x^2}{2}\right) + o(x^2)\right] \\ &= e^2\left(\frac{47x^2}{6} + \frac{3x^2}{6} + o(x^2)\right) \\ &= e^2\left(\frac{50x^2}{6} + o(x^2)\right) = e^2\left(\frac{25x^2}{3} + o(x^2)\right) \end{aligned}$$

计算极限：

$$\begin{aligned} \lim_{x\to 0}\frac{(1+2x)^{\frac{1}{x}} + e^2(x-\sqrt{1-2x})}{x^2} &= \lim_{x\to 0}\frac{e^2\left(\frac{25x^2}{3} + o(x^2)\right)}{x^2} \\ &= e^2 \cdot \frac{25}{3} = \frac{25e^2}{3} \end{aligned}$$