积分（Integral） 是微积分的核心概念之一，包括不定积分和定积分。不定积分是求导的逆运算，定积分则用于计算面积和累积量。

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基本不定积分公式

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$$

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln |x| + C$$

$$\int e^x\,dx = e^x + C, \quad \int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \quad (a > 0, a \neq 1)$$

$$\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C$$

$$\begin{aligned} \int \sin x\,dx &= -\cos x + C \\ \int \cos x\,dx &= \sin x + C \\ \int \sec^2 x\,dx &= \tan x + C \\ \int \csc^2 x\,dx &= -\cot x + C \\ \int \sec x \tan x\,dx &= \sec x + C \\ \int \csc x \cot x\,dx &= -\csc x + C \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx &= \arcsin x + C \\ \int \frac{1}{1+x^2}\,dx &= \arctan x + C \end{aligned}$$

定积分的推导过程

定积分的概念源于计算曲线下的面积。设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，我们想要计算曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴在 $[a,b]$ 之间的面积。

分割求和法

1. 分割区间：将 $[a,b]$ 分割为 $n$ 个小区间

   $$a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b$$

2. 构造矩形和：在每个小区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 上任取一点 $\xi_i$，构造矩形面积和

   $$S_n = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)(x_i - x_{i-1})$$

3. 取极限：当分割越来越细（即 $\max(x_i - x_{i-1}) \to 0$）时，矩形和趋于一个确定的值

定积分的定义

$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\|P\| \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i$$

其中 $\|P\| = \max(x_i - x_{i-1})$ 表示分割的细度。

牛顿-莱布尼茨公式

如果 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，即 $F'(x) = f(x)$，那么：

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$$

推导过程：

设 $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$，则：

$$\begin{aligned} F'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\int_a^{x+h} f(t)\,dt - \int_a^x f(t)\,dt}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\int_x^{x+h} f(t)\,dt}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{f(\xi) \cdot h}{h} = f(x) \end{aligned}$$

其中 $\xi$ 介于 $x$ 和 $x+h$ 之间（积分中值定理）。

因此，若 $F'(x) = f(x)$，则：

$$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b F'(x)\,dx = F(b) - F(a)$$

一些有趣的积分结论

1. 三角函数积分性质

$$\begin{aligned} 1. \quad & \int_0^\pi x f(\sin x)\,dx = \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x)\,dx \\ 2. \quad & \int_0^\pi x f(\sin x)\,dx = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi f(\sin x)\,dx \\ 3. \quad & \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x)\,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x)\,dx \\ 4. \quad & \int_0^\pi f(\sin x)\,dx = 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x)\,dx \end{aligned}$$

2. 含参量积分的极限

$$\begin{aligned} 1. \quad & \text{当 } f(x) \text{ 有界 } (m \leq f(x) \leq M) \text{ 时，} \lim_{n\to\infty} \int_0^1 x^n f(x)\,dx = 0 \\ 2. \quad & \text{当 } f'(x) \text{ 在闭区间上连续时，} \lim_{n\to\infty} n \int_0^1 x^n f(x)\,dx = f(1) \end{aligned}$$

3. 积分恒等式

$$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(a+b-x)\,dx$$

特别地：

$$\int_a^b \left(x-\frac{a+b}{2}\right)^{2n+1} dx = 0$$

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有理函数积分

任意有理真分式 $\frac{b_mx^m+\cdots+b_1x+b_0}{a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0}$（$n>m$）都可以分解为以下四类部分分式的和：

1. $\frac{A}{x-a}$
2. $\frac{A}{(x-a)^k}$（$k=2,3,\cdots$）
3. $\frac{Mx+N}{x^2+px+q}$
4. $\frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^i}$（$i=2,3,\cdots$）

这四类部分分式的积分都可以求出。

分解示例:

$$\frac{1}{1+x^3} = \frac{A}{1+x} + \frac{Bx+C}{1-x+x^2}$$

通过待定系数法可以求得 $A = \frac{1}{3}$，$B = -\frac{1}{3}$，$C = \frac{2}{3}$。

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三角函数积分

三角函数积分的核心思想是通过适当的变量替换，将其转化为有理函数的积分。

设被积函数为 $R(\sin x, \cos x)$，其中 $R(x,y)$ 为 $x,y$ 的二元有理函数。

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判别法则

1. 奇偶性判别：

   • 若 $R(\sin x, -\cos x) = -R(\sin x, \cos x)$，则可化为 $\int f(\sin x)\,d(\sin x)$ 或 $\int f(\csc x)\,d(\csc x)$

2. 对称性判别：

   • 若 $R(-\sin x, \cos x) = -R(\sin x, \cos x)$，则可化为 $\int f(\cos x)\,d(\cos x)$ 或 $\int f(\sec x)\,d(\sec x)$

3. 周期性判别：

   • 若 $R(-\sin x, -\cos x) = R(\sin x, \cos x)$，则可化为 $\int f(\tan x)\,d(\tan x)$ 或 $\int f(\cot x)\,d(\cot x)$

例题1

计算 $\int \frac{1}{\sin x \cos^4 x}\,dx$

解：

$$\begin{aligned} \int \frac{1}{\sin x \cos^4 x}\,dx &= -\int \frac{d\cos x}{(1-\cos^2 x)\cos^4 x} \\ &= -\int \frac{d\cos x}{\cos^4 x - \cos^6 x} \end{aligned}$$

令 $u = \cos x$，则原积分化为有理函数积分。

例题2

计算 $\int \frac{dx}{\sin^3 x + \sin x}$

解：

$$\begin{aligned} \int \frac{dx}{\sin^3 x + \sin x} &= -\int \frac{d\cos x}{\sin^4 x + \sin^2 x} \\ &= -\int \frac{d\cos x}{(1-\cos^2 x)^2 + (1-\cos^2 x)} \\ &= -\int \frac{d\cos x}{1 - 2\cos^2 x + \cos^4 x + 1 - \cos^2 x} \end{aligned}$$

例题3

计算 $\int \frac{dx}{5 + 8\sin x \cos x}$

解：

$$\begin{aligned} \int \frac{dx}{5 + 8\sin x \cos x} &= \int \frac{d\tan x}{5\sec^2 x + 8\tan x} \\ &= \int \frac{d\tan x}{5(1+\tan^2 x) + 8\tan x} \\ &= \int \frac{d\tan x}{5\tan^2 x + 8\tan x + 5} \end{aligned}$$

例题4

计算 $\int \frac{\ln \tan x}{\sin x \cdot \cos x}\,dx$

解：

$$\begin{aligned} \int \frac{\ln \tan x}{\sin x \cdot \cos x}\,dx &= \int \frac{\ln \tan x}{\tan x} \cdot \sec^2 x \,dx \\ &= \int \frac{\ln \tan x}{\tan x} \,d\tan x \\ &= \int \ln \tan x \,d(\ln \tan x) \\ &= \frac{1}{2}(\ln \tan x)^2 + C \end{aligned}$$

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万能替换公式

对于一般的三角有理函数积分 $\int R(\sin x, \cos x)\,dx$，可以使用万能替换：

令 $\tan \frac{x}{2} = t$，则：

$$\begin{aligned} dx &= \frac{2\,dt}{t^2+1} \\ \sin x &= \frac{2t}{1+t^2} \\ \cos x &= \frac{1-t^2}{1+t^2} \end{aligned}$$

通过这个替换，任何三角有理函数的积分都可以转化为有理函数的积分。

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"三指幂对反"积分技巧

这是指包含指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、反三角函数的积分。

1. 指数函数优先：如果包含 $e^{ax}$，通常考虑 $u = e^{ax}$ 作为换元
2. 对数函数处理：$u = \ln x$ 或 $d(\ln x) = \frac{dx}{x}$
3. 幂函数处理：利用幂函数的导数性质
4. 复合函数识别：寻找 $f'(x)e^{f(x)}$ 或类似模式

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变限积分

$$\int_0^x f(x-t)\,dt = \int_0^x f(t)\,dt$$

证明： 令 $u = x-t$，则 $du = -dt$，当 $t=0$ 时 $u=x$，当 $t=x$ 时 $u=0$：

$$\int_0^x f(x-t)\,dt = \int_x^0 f(u)(-du) = \int_0^x f(u)\,du$$

例题1

设函数 $f(x)$ 连续，且 $f(0) \neq 0$，求：

$$\lim_{x\to 0} \frac{2\int_0^x (x-t)f(t)\,dt}{x\int_0^x f(x-t)\,dt}$$

解：

利用引理，先化简分母：

$$\int_0^x f(x-t)\,dt = \int_0^x f(t)\,dt$$

因此极限变为：

$$L = \lim_{x\to 0} \frac{2\int_0^x (x-t)f(t)\,dt}{x\int_0^x f(t)\,dt}$$

展开分子：

$$\int_0^x (x-t)f(t)\,dt = x\int_0^x f(t)\,dt - \int_0^x t f(t)\,dt$$

所以：

$$L = \lim_{x\to 0} \frac{2x\int_0^x f(t)\,dt - 2\int_0^x t f(t)\,dt}{x\int_0^x f(t)\,dt}$$

当 $x \to 0$ 时，分子分母都趋于 0，使用洛必达法则：

$$\begin{aligned} \text{分子导数} &= 2\int_0^x f(t)\,dt + 2xf(x) - 2xf(x) = 2\int_0^x f(t)\,dt \\ \text{分母导数} &= \int_0^x f(t)\,dt + xf(x) \end{aligned}$$

因此：

$$L = \lim_{x\to 0} \frac{2\int_0^x f(t)\,dt}{\int_0^x f(t)\,dt + xf(x)}$$

再次应用洛必达法则或使用积分中值定理：

由积分中值定理，存在 $\xi \in (0,x)$ 使得 $\int_0^x f(t)\,dt = xf(\xi)$。

所以：

$$L = \lim_{x\to 0} \frac{2xf(\xi)}{xf(\xi) + xf(x)} = \lim_{x\to 0} \frac{2f(\xi)}{f(\xi) + f(x)} = 1$$

注意： 这里最后一步利用了函数的连续性，当 $x \to 0$ 时，$\xi \to 0$，所以 $f(\xi) \to f(0)$。