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外观

高阶导数

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2025-11-21

高阶导数（Higher-order Derivatives） 是指对函数进行多次求导得到的结果。如果 f(x)f(x) 的导数 f′(x)f'(x) 仍然可导，那么 f′(x)f'(x) 的导数就是 f(x)f(x) 的二阶导数，记作 f′′(x)f''(x)，以此类推。

泰勒展开与高阶导数的关系

泰勒展开的核心思想是用多项式来逼近函数，其中展开式的系数与高阶导数密切相关：

f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+f′′(a)2!(x−a)2+f′′′(a)3!(x−a)3+⋯+f(n)(a)n!(x−a)n+Rn(x)\begin{aligned} f(x) &= f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots \\ &\quad + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x) \end{aligned}

从这个展开式可以看出，第 nn 项的系数为 f(n)(a)n!\frac{f^{(n)}(a)}{n!}，这为我们求高阶导数提供了重要思路。

  • 高阶导数的极限求法：

当 f(a)=0f(a) = 0 时，我们可以利用泰勒展开的思路得到高阶导数的计算公式：

f(n)(a)=n!lim⁡x→af(x)(x−a)nf^{(n)}(a) = n! \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{(x-a)^n}

重要说明：

  • 这个极限的目的不是求出极限值，而是找出 f(x)f(x) 在泰勒展开后 (x−a)n(x-a)^n 项的系数
  • 如果直接计算困难，可以采用级数展开或洛必达法则

例题1

求函数 f(x)=x2ln⁡(1+x)f(x) = x^2 \ln(1+x) 的 nn 阶导数在 x=0x=0 处的值（n>3n>3）。

解：

f(n)(0)=n!lim⁡x→0x2ln⁡(1+x)xn=n!lim⁡x→0x2⋅ln⁡(1+x)xn\begin{aligned} f^{(n)}(0) &= n! \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \ln(1+x)}{x^n} \\ &= n! \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \cdot \ln(1+x)}{x^n} \end{aligned}

将 ln⁡(1+x)\ln(1+x) 进行级数展开：

ln⁡(1+x)=∑k=1∞(−1)k+1kxk\ln(1+x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k} x^k

因此：

x2ln⁡(1+x)xn=x2∑k=1∞(−1)k+1kxkxn=∑k=1∞(−1)k+1kxk+2−n\frac{x^2 \ln(1+x)}{x^n} = \frac{x^2 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k} x^k}{x^n} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k} x^{k+2-n}

为了得到非零极限，需要 k+2−n=0k+2-n=0，即 k=n−2k = n-2。

当 k=n−2k = n-2 时：

lim⁡x→0x2ln⁡(1+x)xn=(−1)(n−2)+1n−2=(−1)n−1n−2\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \ln(1+x)}{x^n} = \frac{(-1)^{(n-2)+1}}{n-2} = \frac{(-1)^{n-1}}{n-2}

因此：

f(n)(0)=n!⋅(−1)n−1n−2f^{(n)}(0) = n! \cdot \frac{(-1)^{n-1}}{n-2}

例题2

求函数 f(x)=(1−xm)nf(x) = (1-x^m)^n 的 nn 阶导数在 x=1x=1 处的值。

解：

f(n)(1)=n!lim⁡x→1(1−xm)n(x−1)n=n!lim⁡x→1(1−xmx−1)n=n!lim⁡x→1(xm−1x−1)n⋅(−1)n\begin{aligned} f^{(n)}(1) &= n! \lim_{x \to 1} \frac{(1-x^m)^n}{(x-1)^n} \\ &= n! \lim_{x \to 1} \left(\frac{1-x^m}{x-1}\right)^n \\ &= n! \lim_{x \to 1} \left(\frac{x^m-1}{x-1}\right)^n \cdot (-1)^n \end{aligned}

注意到：

xm−1x−1=1+x+x2+⋯+xm−1\frac{x^m-1}{x-1} = 1 + x + x^2 + \cdots + x^{m-1}

当 x→1x \to 1 时：

xm−1x−1→1+1+1+⋯+1=m\frac{x^m-1}{x-1} \to 1 + 1 + 1 + \cdots + 1 = m

因此：

f(n)(1)=n!⋅(−1)n⋅mnf^{(n)}(1) = n! \cdot (-1)^n \cdot m^n

例题3

求函数 f(x)=11+x+x2f(x) = \frac{1}{1+x+x^2} 的 100100 阶导数在 x=0x=0 处的值。

解：

首先将函数进行变形：

f(x)=11+x+x2=1−x1−x3=(1−x)⋅11−x3f(x) = \frac{1}{1+x+x^2} = \frac{1-x}{1-x^3} = (1-x) \cdot \frac{1}{1-x^3}

利用几何级数展开：

11−x3=∑k=0∞x3k\frac{1}{1-x^3} = \sum_{k=0}^{\infty} x^{3k}

因此：

f(x)=(1−x)∑k=0∞x3k=∑k=0∞x3k−∑k=0∞x3k+1f(x) = (1-x) \sum_{k=0}^{\infty} x^{3k} = \sum_{k=0}^{\infty} x^{3k} - \sum_{k=0}^{\infty} x^{3k+1}

要找到 x100x^{100} 项的系数，我们需要找到 kk 使得 3k=1003k = 100 或 3k+1=1003k+1 = 100。

由于 100=3×33+1100 = 3 \times 33 + 1，所以：

  • 第一个级数中没有 x100x^{100} 项
  • 第二个级数中当 k=33k = 33 时，3k+1=1003k+1 = 100

因此 x100x^{100} 项的系数为 −1-1，所以：

f(100)(0)=100!×(−1)=−100!f^{(100)}(0) = 100! \times (-1) = -100!

例题4

求函数 f(x)=(x+1)n⋅e−x2f(x) = (x+1)^n \cdot e^{-x^2} 的 nn 阶导数在 x=−1x=-1 处的值。

解：

利用高阶导数的极限公式：

f(n)(−1)=n!lim⁡x→−1(x+1)n⋅e−x2(x+1)n=n!⋅lim⁡x→−1e−x2=n!e\begin{aligned} f^{(n)}(-1) &= n! \lim_{x \to -1} \frac{(x+1)^n \cdot e^{-x^2}}{(x+1)^n} \\ &= n! \cdot \lim_{x \to -1} e^{-x^2} \\ &= \frac{n!}{e} \end{aligned}