微分方程（Differential Equation） 是含有未知函数及其导数的方程。微分方程是数学建模的重要工具，广泛应用于物理、工程、生物、经济等领域。

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1. 按阶数分类：

   • 一阶微分方程：$F(x,y,y') = 0$
   • 二阶微分方程：$F(x,y,y',y'') = 0$
   • 高阶微分方程：阶数 $\geq 3$

2. 按线性性分类：

   • 线性微分方程：$a_n(x)y^{(n)} + \cdots + a_1(x)y' + a_0(x)y = f(x)$
   • 非线性微分方程：不能表示为线性形式

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一阶微分方程

1. 变量可分离方程

基本形式：$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$

解法：分离变量 $\frac{dy}{g(y)} = f(x)dx$，然后两边积分

2. 一阶线性微分方程

标准形式：$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$

解法：使用积分因子 $u(x) = e^{\int P(x)dx}$

通解公式：

$$y = e^{-\int P(x)dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C\right)$$

3. 齐次微分方程

基本形式：$\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right)$

解法：令 $u = \frac{y}{x}$，则 $y = ux$，$\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}$

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特殊类型的一阶微分方程

1. 变量可分离方程

基本形式：$M(x)dx + N(y)dy = 0$

例题1：求微分方程 $y'\tan x = y\ln y$ 的通解。

解：

将方程改写为变量可分离形式：

$$\frac{dy}{dx}\tan x = y\ln y$$

分离变量：

$$\frac{dy}{y\ln y} = \frac{dx}{\tan x} = \cot x\,dx$$

两边积分：

$$\int \frac{dy}{y\ln y} = \int \cot x\,dx$$

左边：令 $u = \ln y$，则 $du = \frac{dy}{y}$：

$$\int \frac{du}{u} = \ln|u| + C_1 = \ln|\ln y| + C_1$$

右边：

$$\int \cot x\,dx = \ln|\sin x| + C_2$$

因此：

$$\ln|\ln y| = \ln|\sin x| + C$$

化简得：

$$|\ln y| = C|\sin x| \quad \Rightarrow \quad \ln y = C\sin x$$

注意特殊情况：当 $y\ln y = 0$ 时，需要单独考虑：

• 若 $y = 1$，则 $\ln y = 0$，代入原方程验证可知 $y \equiv 1$ 也是解

2. 齐次微分方程

基本形式：$\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right)$

换元方法：令 $u = \frac{y}{x}$，则 $y = ux$，$y' = u + xu'$

例题1

求解 $(y + \sqrt{x^2 + y^2})dx = xdy$

解：

将方程化为标准形式：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{y + \sqrt{x^2 + y^2}}{x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^2}$$

令 $u = \frac{y}{x}$，则 $y = ux$，$\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}$：

$$u + x\frac{du}{dx} = u + \sqrt{1 + u^2}$$

简化得：

$$x\frac{du}{dx} = \sqrt{1 + u^2}$$

分离变量：

$$\frac{du}{\sqrt{1 + u^2}} = \frac{dx}{x}$$

两边积分：

$$\int \frac{du}{\sqrt{1 + u^2}} = \int \frac{dx}{x}$$

左边积分：$\ln|u + \sqrt{1 + u^2}| + C_1$ 右边积分：$\ln|x| + C_2$

因此：

$$\ln|u + \sqrt{1 + u^2}| = \ln|x| + C$$

化简：

$$u + \sqrt{1 + u^2} = Cx$$

将 $u = \frac{y}{x}$ 代回：

$$\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^2} = Cx$$

例题2

求解 $(1 - e^{-\frac{x}{y}})ydx + (y - x)dy = 0$

解：

令 $u = \frac{x}{y}$，则 $x = uy$，$dx = udy + ydu$

代入原方程：

$$(1 - e^{-u})y(udy + ydu) + (y - uy)dy = 0$$

展开并整理：

$$(1 - e^{-u})y^2 du + [(1 - e^{-u})uy + (1 - u)y]dy = 0$$

化简：

$$y^2(1 - e^{-u}) du + y[1 - ue^{-u}] dy = 0$$

分离变量：

$$\frac{y^2}{y}[1 - e^{-u}] du + [1 - ue^{-u}] dy = 0$$

即：

$$y(1 - e^{-u}) du + (1 - ue^{-u}) dy = 0$$

重新排列：

$$(1 - e^{-u}) du = \frac{ue^{-u} - 1}{y} dy$$

积分后得到：

$$u - e^{-u} = \frac{C}{y}$$

将 $u = \frac{x}{y}$ 代回：

$$\frac{x}{y} - e^{-\frac{x}{y}} = \frac{C}{y}$$

二阶微分方程

1. 常系数线性微分方程

齐次方程：$y'' + ay' + by = 0$

特征方程：$r^2 + ar + b = 0$

解的情况：

• 两个不同实根 $r_1, r_2$：$y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}$
• 重根 $r$：$y = (C_1 + C_2x)e^{rx}$
• 复根 $\alpha \pm \beta i$：$y = e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x)$

非齐次方程：$y'' + ay' + by = f(x)$

通解：$y = y_h + y_p$，其中 $y_h$ 是齐次解，$y_p$ 是特解

2. 可降阶的二阶微分方程

类型1：$y'' = f(x)$

• 解法：直接积分两次

类型2：$y'' = f(x,y')$（不显含 $y$）

• 解法：令 $p = y'$，则 $y'' = p'$，化为一阶方程

类型3：$y'' = f(y,y')$（不显含 $x$）

• 解法：令 $p = y'$，则 $y'' = p\frac{dp}{dy}$

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可降阶的高阶微分方程

例题1

求微分方程 $yy'' - y'^2 = 0$ 的通解及满足 $y(0) = 1$，$y'(0) = \frac{1}{2}$ 的特解。

解：

令 $p = y'$，则 $y'' = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx} = p\frac{dp}{dy}$

代入原方程：

$$y \cdot p\frac{dp}{dy} - p^2 = 0$$

整理得：

$$yp\frac{dp}{dy} = p^2$$

当 $p \neq 0$ 时：

$$\frac{1}{p}dp = \frac{1}{y}dy$$

两边积分：

$$\ln|p| = \ln|y| + C_1$$

因此：

$$p = C_2 y$$

代回 $p = y'$：

$$\frac{dy}{dx} = C_2 y$$

分离变量：

$$\frac{dy}{y} = C_2 dx$$

积分得：

$$\ln|y| = C_2 x + C_3$$

因此通解为：

$$y = C e^{C_2 x}$$

利用初始条件 $y(0) = 1$，$y'(0) = \frac{1}{2}$：

$$C = 1, \quad C_2 = \frac{1}{2}$$

所以特解为：

$$y = e^{\frac{x}{2}}$$

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全微分方程

基本理论：

全微分方程：$P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0$

充要条件：$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$

解法：若存在函数 $u(x,y)$ 使得 $du = Pdx + Qdy$，则 $u(x,y) = C$

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例题1

求微分方程 $(4 - x + y)dx + (x + y - 2)dy = 0$ 的通解

解：

设 $P(x,y) = 4 - x + y$，$Q(x,y) = x + y - 2$

验证是否为全微分方程：

$$\frac{\partial P}{\partial y} = 1, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = 1$$

因为 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$，所以是全微分方程。

求 $u(x,y)$：

$$u(x,y) = \int P(x,y)dx + \phi(y) = \int (4 - x + y)dx + \phi(y) = 4x - \frac{x^2}{2} + xy + \phi(y)$$

对 $y$ 求导：

$$\frac{\partial u}{\partial y} = x + \phi'(y)$$

与 $Q(x,y)$ 比较：

$$x + \phi'(y) = x + y - 2 \implies \phi'(y) = y - 2$$

积分得：

$$\phi(y) = \frac{y^2}{2} - 2y + C$$

因此：

$$u(x,y) = 4x - \frac{x^2}{2} + xy + \frac{y^2}{2} - 2y + C$$

通解为：

$$4x - \frac{x^2}{2} + xy + \frac{y^2}{2} - 2y = C$$

例题2

求微分方程 $(y^2 + 1)dx = y(y - 2x)dy$ 的通解

解：

将方程重写为标准形式：

$$(y^2 + 1)dx + (2x - y)ydy = 0$$

设 $P(x,y) = y^2 + 1$，$Q(x,y) = (2x - y)y = 2xy - y^2$

验证：

$$\frac{\partial P}{\partial y} = 2y, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = 2y$$

是全微分方程。

求 $u(x,y)$：

$$u(x,y) = \int (y^2 + 1)dx + \phi(y) = xy^2 + x + \phi(y)$$

对 $y$ 求导：

$$\frac{\partial u}{\partial y} = 2xy + \phi'(y)$$

与 $Q(x,y)$ 比较：

$$2xy + \phi'(y) = 2xy - y^2 \implies \phi'(y) = -y^2$$

积分得：

$$\phi(y) = -\frac{y^3}{3} + C$$

因此通解为：

$$xy^2 + x - \frac{y^3}{3} = C$$

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可化为齐次方程的微分方程

形式：$(a_1x + b_1y + c_1)dx + (a_2x + b_2y + c_2)dy = 0$

解法：通过坐标变换化为齐次方程

例题1

求微分方程 $(x - y + 3)y' = (x + y - 1)$ 的通解

解：

将方程化为标准形式：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{x + y - 1}{x - y + 3}$$

求交点：

$$\begin{cases} x + y - 1 = 0 \\ x - y + 3 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x = -1 \\ y = 2 \end{cases}$$

作坐标变换：

$$\begin{cases} u = x + 1 \\ v = y - 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x = u - 1 \\ y = v + 2 \end{cases}$$

则 $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{du}$，方程变为：

$$\frac{dv}{du} = \frac{(u-1) + (v+2) - 1}{(u-1) - (v+2) + 3} = \frac{u + v}{u - v}$$

这是齐次方程，令 $w = \frac{v}{u}$，则 $v = uw$，$\frac{dv}{du} = w + u\frac{dw}{du}$：

$$w + u\frac{dw}{du} = \frac{u + uw}{u - uw} = \frac{1 + w}{1 - w}$$

因此：

$$u\frac{dw}{du} = \frac{1 + w}{1 - w} - w = \frac{1 + w - w + w^2}{1 - w} = \frac{1 + w^2}{1 - w}$$

分离变量：

$$\frac{1 - w}{1 + w^2}dw = \frac{du}{u}$$

积分：

$$\int \frac{1 - w}{1 + w^2}dw = \int \frac{du}{u}$$

左边：

$$\int \frac{1}{1 + w^2}dw - \int \frac{w}{1 + w^2}dw = \arctan w - \frac{1}{2}\ln(1 + w^2)$$

右边：$\ln|u| + C$

因此：

$$\arctan w - \frac{1}{2}\ln(1 + w^2) = \ln|u| + C$$

代回原变量：

$$\arctan\frac{y-2}{x+1} - \frac{1}{2}\ln\left[1 + \left(\frac{y-2}{x+1}\right)^2\right] = \ln|x+1| + C$$

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伯努利方程与特殊技巧

1. 反向代理技巧

思想：将 $y$ 视为自变量，$x$ 视为因变量

例题1

求微分方程 $\frac{dy}{dx} = \frac{2x^3y}{x^4 + y^2}$ 满足 $y(1) = 1$ 的特解

解：

将方程反向：

$$\frac{dx}{dy} = \frac{x^4 + y^2}{2x^3y} = \frac{x}{2y} + \frac{y}{2x^3}$$

整理：

$$\frac{dx}{dy} - \frac{1}{2y}x = \frac{y}{2}x^{-3}$$

这是关于 $x$ 的伯努利方程。令 $z = x^4$，则 $\frac{dz}{dy} = 4x^3\frac{dx}{dy}$：

$$\frac{1}{4x^3}\frac{dz}{dy} - \frac{1}{2y}x = \frac{y}{2}x^{-3}$$

两边乘以 $4x^3$：

$$\frac{dz}{dy} - 2yx^4 = 2y$$

即：

$$\frac{dz}{dy} - 2yz = 2y$$

这是一阶线性微分方程，积分因子为 $e^{-y^2}$：

$$\frac{d}{dy}(ze^{-y^2}) = 2ye^{-y^2}$$

积分得：

$$ze^{-y^2} = -e^{-y^2} + C$$

因此：

$$z = -1 + Ce^{y^2}$$

代回 $z = x^4$：

$$x^4 = -1 + Ce^{y^2}$$

利用初始条件 $y(1) = 1$：

$$1 = -1 + Ce^{1} \implies C = \frac{2}{e}$$

特解为：

$$x^4 = -1 + \frac{2}{e}e^{y^2} = -1 + 2e^{y^2-1}$$

2. 参数变换技巧

例题1

求微分方程 $y'' + (x + \sin y)y'^3 = 0$ 的通解

解：

利用 $x' = \frac{1}{y'}$（当 $y' \neq 0$ 时）：

$$y'' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x'}\right) = -\frac{x''}{(x')^3}$$

代入原方程：

$$-\frac{x''}{(x')^3} + (x + \sin y)\frac{1}{(x')^3} = 0$$

乘以 $(x')^3$：

$$-x'' + x + \sin y = 0 \implies x'' - x = \sin y$$

这是关于 $x$ 的二阶线性非齐次方程，但要注意 $\sin y$ 中的 $y$ 是 $x$ 的函数。

设通解为 $x = \bar{x} + x^*$，其中 $\bar{x}$ 是齐次解，$x^*$ 是特解。

齐次方程：$x'' - x = 0$，通解为 $\bar{x} = C_1e^y + C_2e^{-y}$

实际上，这个问题需要更深入的技巧，通常在这种情况下，需要寻找特殊的方法或数值解。