自旋玻璃概述

重要

Q: 自旋玻璃是什么？

A：

• 自旋玻璃是一类“看起来像磁体却又乱糟糟”的特殊磁性材料：其中每个自旋像一根微小磁针，它们之间的相互作用有的“想同向”， 有的“想反向”，彼此要求互相矛盾，导致系统很难排成整齐的有序状态。降到低温时，这些自旋会“冻结”在许多彼此不同、又都不太稳定的无序构型中，就像玻璃是液体突然冻结后的无序固体一样。因为有大量“局部最低能量态”和强烈的“挫折效应”，自旋玻璃不仅是研究磁性的重要模型，也被用来理解复杂系统中的多解性、记忆效应和缓慢动力学，比如神经网络、优化问题甚至某些社会系统。

• 自旋玻璃 = 相互作用"乱" + 相互作用"矛盾（竞争/沮丧）" + 低温下冻结的无序磁状态。

三个核心特征：

1. 无序（disorder）

   • 自旋之间的相互作用强度、符号在空间上是随机的
   • 有的键是铁磁耦合（喜欢同向），有的是反铁磁耦合（喜欢反向），而且分布得乱七八糟

2. 挫折 / 沮丧（frustration）

   • 系统不可能同时满足所有相互作用的"愿望"
   • 典型例子：三角形上三个自旋，如果每条边都想"反向"，就不可能让每一条边都满意

3. 自旋冻结（spin freezing）

   • 温度低于某个冻结温度 $T_f$ 后，自旋不再像顺磁那样自由翻转，而是"卡住"在某些无序但稳定（或准稳定）的构型上
   • 看起来像随机排布，但不是热噪声造成的瞬时无序，而是长期保持的"玻璃态"无序

---

理论模型(EA & SK)

为了理解自旋玻璃，人们提出了许多随机耦合的自旋模型。最经典的是 EA 模型和 SK 模型。

Edwards-Anderson (EA) 模型

EA 模型（Edwards–Anderson 模型）是定义在有限维晶格上的、具有两体相互作用的自旋玻璃模型。

• 晶格体系：

  • 可以是由原子或分子构成，周期性地排布在一个 $D$ 维空间中
  • 常见是 $D = 2, 3$，但理论上也会考虑更高维的情况

• 晶格点与自旋：

  • 假设晶格中共有 $N$ 个格点，每个格点上有一个粒子，每个粒子携带一个自旋：

    $$\sigma_i = \pm 1,\quad i = 1,2,\dots, N$$

  • $\sigma_i = +1$：表示"自旋向上"
  • $\sigma_i = -1$：表示"自旋向下"

• 最近邻相互作用：

  • 只考虑最近邻格点之间的相互作用，即晶格上的"边"连接的那一对对粒子 $(i,j)$
  • 文中用 $DL$（D-dimensional lattice）表示这样的 $D$ 维晶格，并且求和 $(i,j)\in DL$ 就是对所有最近邻对求和

---

EA 模型的总能量

EA 模型的总能量表达式为：

$$E(\sigma_1, \sigma_2, \dots, \sigma_N) = - \sum_{(i,j)\in DL} J_{ij}\, \sigma_i \sigma_j \tag{1.1}$$

• $\sigma_i = \pm 1$：第 $i$ 个格点上的 Ising 自旋
• $(i,j)\in DL$：表示晶格上所有最近邻的格点对
• $J_{ij}$：
  • 表示第 $i$ 和 $j$ 个粒子（自旋）之间的耦合常数
  • 它可以随 $(i,j)$ 而变化，不随时间变化，是"冻结"的随机变量
  • 在一般自旋玻璃情况下，$J_{ij}$ 会是既有正又有负的随机数

---

特例: 铁磁与反铁磁模型

如果对所有键的 $J_{ij}$ 做一些特殊选取，就会退化到我们熟悉的铁磁或反铁磁模型。

• 铁磁 Ising 模型：

  $$J_{ij} > 0,\quad \forall (i,j)$$

  此时：

  • 相邻自旋同向时能量更低：$\sigma_i\sigma_j = +1$ 使 $-J_{ij}\sigma_i\sigma_j$ 更负
  • 自旋趋向形成"大家同向"的排列，宏观上表现为自发磁化

• 反铁磁 Ising 模型：

  $$J_{ij} < 0,\quad \forall (i,j)$$

  此时：

  • 相邻自旋反向时能量更低：$\sigma_i\sigma_j = -1$ 可以使 $-J_{ij}\sigma_i\sigma_j$ 变负
  • 在双原子晶格或双子晶格体系中，自旋倾向于"上下交替"的有序结构

---

一般有限维晶格上的自旋玻璃

在真正的 EA 自旋玻璃模型中：

• $J_{ij}$ 既有正又有负，且在空间上分布无序（通常按某个概率分布抽样）
• 这样就不再是纯铁磁或纯反铁磁，而是：
  • 无序（disorder）：耦合强度、符号在晶格中随机变动
  • 挫折（frustration）：对同一个自旋来说，邻居中有人"希望它同向"，有人"希望它反向"，导致无法同时满足所有相互作用

这就引出了自旋玻璃在低温下的复杂冻结行为 —— 但从能量形式上看，依然是：

$$E = -\sum_{(i,j)} J_{ij}\sigma_i\sigma_j$$

只是 $J_{ij}$ 的取值更"花"。

---

Sherrington-Kirkpatrick (SK) 模型

SK 模型是 EA 模型之后提出的一个重要扩展，它解决了 EA 模型的一些局限性：

• 全连接结构：

  • SK 模型定义在完全图上，任意两个自旋之间都有相互作用
  • 与 EA 模型的有限维晶格结构形成对比

• 哈密顿量：

  $$H = -\sum_{i<j} J_{ij} \sigma_i \sigma_j - h \sum_i \sigma_i$$

  其中 $J_{ij}$ 是独立同分布的高斯随机变量

• 理论优势：

  • 由于全连接结构，SK 模型在热力学极限下可以用平均场理论精确求解
  • 引入了复本对称破缺(Replica Symmetry Breaking, RSB)的概念
  • 为理解自旋玻璃的复杂相结构提供了理论框架

• 物理意义：

  • SK 模型描述了无限维极限下的自旋玻璃行为
  • 为理解有限维自旋玻璃提供了重要的理论基准

---

序参量：平均磁矩

$$m \equiv \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} m_i \tag{1.2}$$

这里的含义大致是：

• $m_i$：第 $i$ 个自旋的平均磁矩（或局部平均自旋）
• $m$：所有格点平均后的磁矩，即整个系统的平均磁化

在铁磁模型中：

• 低温相：$m \neq 0$（自发磁化存在）
• 高温相：$m = 0$

在理想自旋玻璃中：

• 由于空间上没有类似铁磁那样"全体同向"的有序结构，整体平均磁矩 $m$ 一般为 0
• 通常需要引入 EA 序参量 $q_{\mathrm{EA}}$ 来刻画"自旋冻结"，而不是用 $m$ 来描述

---

小结

1. 体系：有限维晶格上的 $N$ 个 Ising 自旋 $\sigma_i = \pm 1$，只考虑最近邻相互作用

2. 能量：

   $$E(\{\sigma\}) = -\sum_{(i,j)\in DL} J_{ij}\sigma_i\sigma_j$$

3. $J_{ij}$ 的物理意义：

   • 固定（不随时间演化）的耦合常数，反映粒子间相互作用的强弱和"偏好"（同向/反向）
   • 若全部 $J_{ij}>0$ → 铁磁 Ising 模型
   • 若全部 $J_{ij}<0$ → 反铁磁 Ising 模型
   • 若 $J_{ij}$ 在空间中随机取正取负 → EA 自旋玻璃模型

4. SK 模型贡献：

   • 全连接结构，任意自旋间都有相互作用
   • 可用平均场理论精确求解
   • 引入复本对称破缺概念
   • 为理解自旋玻璃相结构提供理论框架

5. 序参量：

   • 平均磁矩 $m$ 用来刻画铁磁有序

   • 注

     磁矩理解：把所有小磁矩（或者它们对应的 $\sigma_i$平均一下，看整体是不是更偏向"上"还是"下"

   • 对自旋玻璃，后面需要引入更合适的序参量（如 EA 序参量）来描述低温玻璃态

K-满足公式

$$E(\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_N) = \sum_{a=1}^{M}\prod_{i\in \partial a}\frac{1-J_a^{i}\sigma_i}{2}. \tag{1.12}$$

它是在把 K-SAT 等约束满足问题 写成一个“能量函数”。
目标：能量 = 违反的子句个数，这样就能用物理/优化的方法来分析。

• 问题背景：K-SAT 和约束满足
  • 有 $N$ 个变量，用 $\sigma_i = \pm 1$ 表示（等价于布尔 True/False）。
  • 有 $M$ 个子句（constraints），编号 $a = 1,\dots,M$。
  • 每个子句 $a$ 里包含若干“文字”（变量或取反后的变量）：集合记为 $\partial a$。
  • K-SAT：每个子句里有 $K$ 个文字。

注

M个子句，每一个子句都是由N个变量构成，子句最后的结果为True，E = 0，否则E > 1。 总能量 = 违反子句数。

---

用 $\sigma_i=\pm 1$ 和 $J_a^i=\pm 1$ 编码子句

• $\sigma_i = +1$：可看作布尔变量 $x_i = \text{True}$；
• $\sigma_i = -1$：可看作 $x_i = \text{False}$。

对子句 $a$ 里的每个文字，用 $J_a^i$ 来编码它是正文字还是反文字：

• 如果子句中出现的是 正文字 $x_i$：令 $J_a^i = +1$；
• 如果出现的是 反文字 $\lnot x_i$：令 $J_a^i = -1$。

这样，子句结构的信息就全藏在 $\{J_a^i\}$ 里了。

---

构造积木，实现0/1映射

构造一个“0/1 的小积木”：$\dfrac{1 - J_a^i \sigma_i}{2}$

考虑这一项：

$$\frac{1 - J_a^i \sigma_i}{2}$$

我们看它在不同情况下的取值：

1. 情况 1：子句中是正文字 $x_i$，$J_a^i = +1$

• 若 $\sigma_i = +1$（$x_i$ 为真，满足这个文字）：

  $$\frac{1 - (+1)\cdot(+1)}{2} = \frac{1 - 1}{2} = 0$$

• 若 $\sigma_i = -1$（$x_i$ 为假，这个文字为假）：

  $$\frac{1 - (+1)\cdot(-1)}{2} = \frac{1 + 1}{2} = 1$$

2. 情况 2：子句中是反文字 $\lnot x_i$，$J_a^i = -1$

• 若 $\sigma_i = -1$（$x_i$ 为假，则 $\lnot x_i$ 为真，满足这个文字）：

  $$\frac{1 - (-1)\cdot(-1)}{2} = \frac{1 - 1}{2} = 0$$

• 若 $\sigma_i = +1$（$x_i$ 为真，则 $\lnot x_i$ 为假）：

  $$\frac{1 - (-1)\cdot(+1)}{2} = \frac{1 + 1}{2} = 1$$

于是可以总结：

$$\frac{1 - J_a^i \sigma_i}{2} = \begin{cases} 0, & \text{如果第 $i$ 个文字在当前赋值下为真（满足子句）} \\ 1, & \text{如果第 $i$ 个文字在当前赋值下为假} \end{cases}$$

这就是一个“文字是否为假”的指示函数。

---

文字映射后的变量值乘积

对子句 $a$，它包含的变量集合是 $\partial a$。定义：

$$\epsilon_a(\{\sigma\}) \equiv \prod_{i\in \partial a}\frac{1 - J_a^i \sigma_i}{2}$$

观察这个乘积：

• 如果子句里至少有一个文字为真（子句被满足）：
  • 对应那个 $i$ 的因子 $\frac{1 - J_a^i \sigma_i}{2} = 0$；
  • 整个乘积中有一个 0 ⇒ $\epsilon_a = 0$。
• 若子句里所有文字都为假（子句不被满足）：
  • 每个因子都是 1；
  • 整个乘积 = 1 ⇒ $\epsilon_a = 1$。

所以 $\epsilon_a$ 正好是：

$$\epsilon_a = \begin{cases} 0, & \text{子句 $a$ 被满足} \\ 1, & \text{子句 $a$ 被违反} \end{cases}$$

这是“子句是否违反”的指示函数。

---

求和子句，得到能量

现在，总能量定义为：

$$E(\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_N) = \sum_{a=1}^{M}\epsilon_a(\{\sigma\}) = \sum_{a=1}^{M}\prod_{i\in \partial a}\frac{1 - J_a^{i}\sigma_i}{2}.$$

它的含义非常直接：

• 每个子句 $a$：
  • 若被满足 → $\epsilon_a = 0$ → 不贡献能量；
  • 若被违反 → $\epsilon_a = 1$ → 对能量贡献 1。
• 总能量 $E$ = 所有未满足子句的个数。

于是：

• 若存在赋值使 $E = 0$：所有子句都被满足 → 公式可满足；
• 若最小的 $E > 0$：说明无论怎么赋值，总有一些子句无法同时满足 → 这是一个组合优化问题（最小化违背的约束数）。

---

小结

1. 把布尔变量换成 $\sigma_i = \pm 1$；
2. 用 $J_a^i = \pm 1$ 编码子句里是 $x_i$ 还是 $\lnot x_i$；
3. 构造因子 $\frac{1 - J_a^i \sigma_i}{2}$，让
   • 文字为真 → 0；
   • 文字为假 → 1；
4. 对子句里所有文字相乘 → 子句被满足时 0，不满足时 1；
5. 对所有子句求和 → $E$ 等于违反的子句总数。

这样，K-SAT 就被写成了一个“自旋系统的能量函数”，就可以用统计物理 / 自旋玻璃的方法来分析了。

重要

Q: 如何理解针对于某一个特定的约束，只要满足当前的变量在函数所映射后得到的值为0时，该约束对应的能量就为0？

A: 其实对于这样一个K-满足公式的定义，其实就是对于布尔逻辑问题 ANDS of ORS的求解，只要ORS中一项满足要求，其它的项就不再重要了。

• 想象一个“通过规则”： “你要满足下面任意一个条件，我就让你通过门禁：

  1. 有学生证
  2. 有老师证
  3. 有访客通行证

  这就是一个 OR 子句： (学生证 ∨ 老师证 ∨ 访客证) 只有都没有才是不通过，反之有其一都是通过