Problem: n 个平面最多可以把三维空间分成多少个区域？

Idea

考虑用递推的方式理解空间划分问题。

当加入第 $n$ 个平面时，它会被之前的 $n-1$ 个平面截成交线。这些交线都落在新平面上，于是问题就转化为：

$n-1$ 条直线最多能把一个平面分成多少个区域？

每一个这样的平面区域，都会对应地把原空间中的一个区域再分裂成两个。因此：

新增的空间区域数量 = 新平面被这些交线划分出的区域数量。

可以从几何上这样理解：设想已有的 $n-1$ 个平面都穿过原点，现在在 $y$ 轴某处取一个与 $XOZ$ 平面平行的新平面 $D$。这个新平面与原有平面的交线构成一个平面划分。 在平面 $D$ 的一侧，是原来的空间区域；另一侧则对应新产生的区域，其数量恰好等于平面划分的区域数。

如图所示：

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平面划分递推

设 $R_n$ 表示 $n$ 条直线最多把平面分成的区域数，则有：

$$R_n = R_{n-1} + n,\quad R_0 = 1$$

这表示：加入第 $n$ 条直线时，它最多与已有直线产生 $n-1$ 个交点，从而被分成 $n$ 段，每一段都会新增一个区域。

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空间划分递推

设 $S_n$ 表示 $n$ 个平面最多把空间分成的区域数，则有：

$$S_n = S_{n-1} + R_{n-1},\quad S_0 = 1$$

这里的含义正是：第 $n$ 个平面新增的空间区域数，等于它在自身平面内被交线划分出的区域数。

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Primary Idea

笔者在中学时尚未系统学习等差数列与多项式理论，但通过记录前几项空间划分数并不断做“相邻差”，发现了如下的规律：

它可以看作离散情形下的“求导”操作： 对一个由多项式生成的数列，重复做差分会逐步降低其“阶数”，直到得到常数。

如图所示：

这一过程本质上就是：有限差分（finite difference）

贡献者: paiad