CVX工具包

CVX工具包

>> cvx_begin
>> variable x(2)
>> minimize(norm(x,1))
>> subject to
>>  x >= 0
>> cvx_end

系统模型

元素坐标与系统模型

基本坐标信息：

相关信息

• UAV 位置：$\mathcal{L}_u(n) = (u_x(n), u_y(n), H)$
• 用户位置：$\mathcal{L}_d = (d_x, d_y, 0)$
• RIS 位置：$\mathcal{L}_r = (r_x, r_y, H_r)$
• RIS 相位调整矩阵：$\Phi(n) = \text{diag}(e^{j\theta_1(n)}, \ldots, e^{j\theta_M(n)})$，$M$ 为反射单元数。

系统组成：

相关信息

• UAV 位置：$\mathcal{L}_u(n) = (u_x(n), u_y(n), H)$
• 用户位置：$\mathcal{L}_d = (d_x, d_y, 0)$
• RIS 位置：$\mathcal{L}_r = (r_x, r_y, H_r)$
• RIS 相位调整矩阵：$\Phi(n) = \text{diag}(e^{j\theta_1(n)}, \ldots, e^{j\theta_M(n)})$，$M$ 为反射单元数。

距离定义：

相关信息

• UAV 到用户：$s_d(n) = ||\mathcal{L}_u(n) - \mathcal{L}_d||_2$
• UAV 到 RIS：$s_{u,r}(n) = ||\mathcal{L}_u(n) - \mathcal{L}_r||_2$
• RIS 到用户：$s_{r,d} = ||\mathcal{L}_r - \mathcal{L}_d||_2$

信道增益推导

直接信道(UAV --> User)

根据自由空间路径损耗模型，

信道功率增益为： $|h_d(n)|^2 = \alpha_0 s_d(n)^{-2}$

信道幅度为： $h_d(n) = \sqrt{|h_d(n)|^2} = \sqrt{\alpha_0 s_d(n)^{-2}} = \sqrt{\alpha_0} s_d(n)^{-1}$

反射信道(UAV --> RIS, RIS --> User)

重要

RIS 反射信道由 UAV 到 RIS 和 RIS 到用户的级联组成。

1. UAV -> RIS：

距离 $s_{u,r}(n)$，功率增益： $|\mathbf{h}_{u,r}(n)|^2 = \alpha_0 s_{u,r}(n)^{-2}$

幅度： $\mathbf{h}_{u,r}(n) = \sqrt{\alpha_0} s_{u,r}(n)^{-1} \mathbf{a}_{u,r}(n)$

其中 $\mathbf{a}_{u,r}(n)$ 是 RIS 的阵列响应向量，长度为 $M$，模为 1。

2. RIS -> User：

距离 $s_{r,d}$，功率增益： $|\mathbf{h}_{r,d}(n)|^2 = \alpha_0 s_{r,d}(n)^{-2}$

幅度： $\mathbf{h}_{r,d} = \sqrt{\alpha_0} s_{r,d}(n)^{-1} \mathbf{a}_{r,d}(n)$

其中$\mathbf{a}_{r,d}(n)$ 为 RIS 到用户的阵列响应向量。

3. UAV -> RIS -> User：

总信道为： $h_r(n) = \mathbf{h}_{r,d}(n)^T \Phi(n) \mathbf{h}_{u,r}(n)$

代入： $h_r(n) = (\sqrt{\alpha_0} s_{r,d}(n)^{-1} \mathbf{a}_{r,d})^T \Phi(n) (\sqrt{\alpha_0} s_{u,r}(n)^{-1} \mathbf{a}_{u,r}(n))$

化简： $h_r(n) = \alpha_0 s_{u,r}(n)^{-1} s_{r,d}(n)^{-1} \{\mathbf{a}_{r,d}^T \Phi(n) \mathbf{a}_{u,r}(n)\}$

总信道 $h_{\text{total}}(n)$

总信道增益为直接信道和反射信道的相干叠加： $h_{\text{total}}(n) = h_d(n) + h_r(n)$

代入： $h_{\text{total}}(n) = \sqrt{\alpha_0} s_d(n)^{-1} + \alpha_0 s_{u,r}(n)^{-1} s_{r,d}(n)^{-1} \mathbf{a}_{r,d}(n)^T \Phi(n) \mathbf{a}_{u,r}(n)$

注

$h_d(n)$ 和 $h_r(n)$ 的相位未显式考虑。若需精确计算，应引入相位项，但优化中通常通过 $\Phi(n)$ 调整相位对齐。

用户接收功率推导

接收功率定义为： $P_d(n) = p |h_{\text{total}}(n)|^2$

代入 $h_{\text{total}}(n)$，计算功率：

$|h_{\text{total}}(n)|^2 = \left| \sqrt{\alpha_0} s_d(n)^{-1} + \alpha_0 s_{u,r}(n)^{-1} s_{r,d}(n)^{-1} \mathbf{a}_{r,d}(n)^T \Phi(n) \mathbf{a}_{u,r}(n) \right|^2$

令 $g_r(n) = \mathbf{a}_{r,d}(n)^T \Phi(n) \mathbf{a}_{u,r}(n)$（复数），则：

$|h_{\text{total}}(n)|^2 = \alpha_0 s_d(n)^{-2} + 2 \sqrt{\alpha_0} \alpha_0 s_d(n)^{-1} s_{u,r}(n)^{-1} s_{r,d}(n)^{-1} \text{Re}\{g_r(n)\} + \alpha_0^2 s_{u,r}(n)^{-2} s_{r,d}(n)^{-2} |g_r(n)|^2$

因此：

$P_d(n) = p|h_{\text{total}}(n)|^2 = p \left( \alpha_0 s_d(n)^{-2} + 2 \sqrt{\alpha_0} \alpha_0 s_d(n)^{-1} s_{u,r}(n)^{-1} s_{r,d}(n)^{-1} \text{Re}\{g_r(n)\} + \alpha_0^2 s_{u,r}(n)^{-2} s_{r,d}(n)^{-2} |g_r(n)|^2 \right)$

速率计算

用户传输速率： $R_d(n) = \log_2 \left( 1 + \frac{P_d(n)}{\sigma^2} \right)$

代入 $P_d(n)$： $R_d(n)$ = $\log_2(1 + \frac{p \left( \alpha_0 s_d(n)^{-2} + 2 \sqrt{\alpha_0} \alpha_0 s_d(n)^{-1} s_{u,r}(n)^{-1} s_{r,d}(n)^{-1} \text{Re}\{g_r(n)\} + \alpha_0^2 s_{u,r}(n)^{-2} s_{r,d}(n)^{-2} |g_r(n)|^2 \right)}{\sigma^2})$

可能的模型简化

相位对齐：

$g_r(n) = \mathbf{a}_{r,d}(n)^T \Phi(n) \mathbf{a}_{u,r}(n)$ 的值取决于 RIS 相位调整。

若 $\Phi(n)$ 优化使 $g_r(n)$ 与 $h_d(n)$ 同相，则 $\text{Re}\{g_r(n)\}$ 最大化，增强信号。

简化形式：

若忽略相位，或假设 $g_r(n)$ 已优化为实数（如 $|g_r(n)| \leq M$），

可近似为：

$P_d(n) \approx p \left( \alpha_0 s_d(n)^{-2} + \alpha_0^2 s_{u,r}(n)^{-2} s_{r,d}(n)^{-2} M^2 \right)$

代入 $P_d(n)$： $R_d(n) = \log_2(1 + \frac{p \left( \alpha_0 s_d(n)^{-2} + \alpha_0^2 s_{u,r}(n)^{-2} s_{r,d}(n)^{-2} M^2 \right)}{\sigma^2})$

公式总结

1. $h_{\text{total}}(n) = \sqrt{\alpha_0} s_d(n)^{-1} + \alpha_0 s_{u,r}(n)^{-1} s_{r,d}(n)^{-1} \mathbf{a}_{r,d}(n)^T \Phi(n) \mathbf{a}_{u,r}(n)$

2. $P_d(n) = p \left( \alpha_0 s_d(n)^{-2} + 2 \sqrt{\alpha_0} \alpha_0 s_d(n)^{-1} s_{u,r}(n)^{-1} s_{r,d}(n)^{-1} \text{Re}\{g_r(n)\} + \alpha_0^2 s_{u,r}(n)^{-2} s_{r,d}(n)^{-2} |g_r(n)|^2 \right)$

3. $R_d(n)$ = $\log_2(1 + \frac{p \left( \alpha_0 s_d(n)^{-2} + 2 \sqrt{\alpha_0} \alpha_0 s_d(n)^{-1} s_{u,r}(n)^{-1} s_{r,d}(n)^{-1} \text{Re}\{g_r(n)\} + \alpha_0^2 s_{u,r}(n)^{-2} s_{r,d}(n)^{-2} |g_r(n)|^2 \right)}{\sigma^2})$